インパルス入力は時間幅が無限小で、振幅は無限大、かつ積分すると1であるものです。実現はできませんが、数式の上でシステム特性を調べるのに有用です。

システムに対して瞬時に衝撃的なインパルス入力を与えるとその応答として安定して収束するのか、不安定になり発散するのか、いわゆるシステムそのものの特性が現れます。これがインパルス応答です。

理想のインパルス信号は現実には生成できませんので試験等で使用するには近似したものを使用します。

インパルス信号はラプラス変換すると1となるのも特徴です。つまり、システム伝達関数のインパルス応答特性を時間領域に逆ラプラス変換する場合、s領域での入力は1なので伝達関数そのものの特性を調べることになります。これがインパルス応答の重要な部分です。

さて、インパルス入力というものがわかったところで、システムにステップ入力を与えた場合と比較していきます。

下の表に、システム伝達関数G(s)が、定数K、積分1/sおよび1次遅れ1/(1+Ts)の場合に、それぞれインパルス入力、ステップ入力を与えた場合の時間関数g(t)を記載しています。

以下にシステムが定数、積分、一次遅れの場合に入力に対してどのような出力となるかを図解で解釈していきます。

s領域の伝達関数が定数の場合①②は時間領域のシステムも感覚通りに理解できます。例えば、伝達関数が定数Kの場合には入力が1の場合は出力はK倍のKになります。時間領域でも入力1に対して出力はKになります。どの条件でも出力は入力のK倍となります。

次は伝達関数が積分の場合③④です。数学的な解釈ではインパルス信号の定義や積分の意味からインパルス入力に対する応答は1の固定値で、ステップ入力に対する積分応答は出力が線形に増加することがわかります。s領域の伝達関数から解釈するとこのように理解するのに迷いはないとおもいます。

今度は逆に時間領域のシステムが1または定数の場合②③から考えてみます。つまり、g(t)=1(定数)の場合です。これは物理的にはどのような状態を意味するのでしょうか。ちょっと解釈に迷うところですが、入力に対して出力の変化がないこと、つまり、システムの時間経過において状態の変化がないことを意味しています。

ちょっと抽象的な表現のため、具体的な例を次節「運動方程式での解釈」で運動方程式を使って説明します。

最後に、システムが一次遅れ特性をもつ場合⑤⑥です。積分特性に比べて直感的に動作を解釈しやすいと思います。

積分特性を物理的に解釈するために、摩擦を無視した質量Mの物体に外力f(t)を与えたときの速度v(t)について考えます。

時間領域の運動方程式において、外力f(t)により生じる加速度a(t)は質量Mが一定であれば外力f(t)に比例します。つまり、入力を外力f(t)、出力を加速度a(t)とすると、入出力間の伝達関数は①②の定数に相当します。

物体の速度v(t)は加速度a(t)の時間積分ですので、外力f(t)からみるとv(t)は積分器を通したものになります。

ここから本題に入ります。静止している物体に外力としてインパルス入力を与えると物体は初速度V₀で運動を始め、摩擦がない空間では質量Mによる慣性によりV₀の等速運動を続けます③。つまり、入力に対して時間経過において速度v(t)の状態変化はありません。

これが、時間関数g(t)が一定であるシステムにインパルス入力を与えた積分動作の物理的解釈です。

外力f(t)をステップ入力にした場合は、物体は一定の加速度a(t)で等加速度運動し、速度v(t)は線形に増加する積分動作④をします。

ステップ入力自体のラプラス変換は積分と同じ1/sになるため、積分システムにステップ入力を与えると1/s²の特性で出力はランプ関数になります。

現実には摩擦が存在するので、外力f(t)をステップ入力で与えると、摩擦力と釣り合い、速度v(t)は1次遅れになります。

一般的なモータの位置決めサーボシステムのブロック線図です。パワーアンプが電流指令タイプの場合は一番内側に電流フィードバックループがあり、モータへは電流指令を与えます。電圧指令タイプの場合は電圧指令値をオープン制御で与えることになります。

モータ位置決めサーボシステムではまず速度制御フィードバックによりモータ速度を安定させてから、外側に位置フィードバックループを設けるものが一般的です。

速度制御にはマイコンプログラムで簡単に実現でき、外乱抑制にも効果のあるハイゲインフィードバック方式を採用します。

位置制御システムに発展させるためには速度制御系の外側に位置フィードバックループを設けます。

ハイゲインフィードバック方式では速度制御系は1次遅れ系に近似できます。位置制御の補償器が比例ゲインK_Pだけなのは入力から出力までの伝達関数を2次遅れ系とするためです。

外部から任意のパルスを与える場合は多少難がありますが、あらかじめ位置目標値の軌道がわかっている場合は速度指令値が作成できるのでフィードフォワード項として付加すると遅れはほぼなくなり追従性はより向上します。

入力から出力間の伝達関数は以下のように2次遅れ系となります。時定数T_m2は既知のため、減衰比ζのみを指定するとゲインK_Pは一意的に決まります。

例えば 時定数T_m2が25msの場合は減衰比ζを1に指定するとω_nが20となるのでK_Pは10になります。

モータの位置および 外部入力パルスによる位置指令値はタイマのエンコーダインターフェースモードによりアップダウンカウントすることで得られます。

User SWは位置情報をリセット/プリセットするために使用します。リセットしたときにアップダウンカウンタの中間値あたりに指定しておけば、動作中にカウンタのオーバーフローやアンダーフローによる動作不良を防ぐことができます。

まず恒例のシミュレーションをマイクロソフトExcelで実施しました。条件としてハイゲインフィードバックゲインC1,C2をそれぞれ2,3とする場合で検証します。

入出力間伝達関数は２次遅れ系となりますので減衰比ζを1と指定すると位置ゲインK_Pは15となります。

この条件では２次遅れ系の特徴がよく現れていて、入力の指令値がランプ状で変化しているときは、出力はわずかな定常偏差をもって変化し、定値になったところで定常偏差がなくなるサーボ追従をしています。制御理論の最終値定理のとおりです。

ハイゲインフィードバックゲインC1,Ｃ2を上げすぎると速度の追従性および外乱抑制は向上しますが、敏感になりすぎて振動的になります。位置サーボの場合は、小さめのゲインでも十分効果はあります。

実機による動作の実測値です。エンコーダ軸を手動で回すと軸の動きに合わせて発生するパルスに追従するいわゆるパルス同期運転となります。

正転、逆転ともにモータの位置は任意に与えたパルスの通り、つまりエンコーダの軸の動きに追従しているのが確認できます。

多少複雑な入力パターンの場合でもしっかり追従しています。

シリアルモニターでエンコーダからの位置指令パルス(上段)とモータ位置パルス(下段)の値を確認してみますと、モータ位置パルスは指令パルスに追従しているのがわかります。

速度制御系でハイゲインフィードバック方式や2自由度ロバスト制御が適用されて指令値通りに応答できるようになっていれば、位置決めサーボ系に発展させることは容易です。

ここでは位置決めサーボ系において応答を決めるゲインをほぼ一意的に選定できる加速度指令方式を採用して実機に適用してその有効性を検証していきます。加速度指令方式についてはマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で詳細を解説しています。

この方式では設定する目標軌道の位置のみならず、速度および加速度に分解したものを予め作成して指令値として与えます。

ゲインKp, Kvの決め方はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【解析編】で解説している2次遅れ特性を参考にしてください。ゲインを適切に設定することにより位置偏差がゼロに収束していわゆる位置決めサーボが実現できます。

上式が成立するのは速度系にロバスト制御が施されていて速度指令値θ^'ref ≒ 速度θ^' となることにより加速度指令値θ^"ref ≒ 加速度θ^" とみなせるからです。

適切に設定したゲインKv、Kpによって起動時に発生している誤差が２次遅れ系の特性で収束すると位置θは目標値 θ₀に遅れなしに追従することになります。詳細はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】の位置決め追従制御(加速度指令方式)で解説しています。

今回は速度制御系の部分にはハイゲインフィードバック方式を採用して簡易的なロバスト制御を実現しています。

指令値は台形速度パターンが最も簡単なので今回はこれを採用しています。プログラムで浮動小数点を使用すればsin関数を用いた加速度曲線などが定義でき、よりスムーズなパターンが作成できます。

指令値を作成するにあたってはマイクロソフトExcelを使用してサイクルタイム毎に刻んで演算すれば下図のような数値が得られます。

実際のプログラミングではExcelの演算と同じものをそれぞれ加速度、速度および位置指令値の配列に代入すればよいわけです。準備する配列の個数は下図の例ではサイクルタイムを5msとしているため各1000個ずつ必要です(5s/5ms個)。

フィードバックおよび実機計測に取り込む速度と位置のデータはエンコーダからのパルスをNucleoに取り組みますが、速度と位置はそれぞれ別個のタイマ・カウンタで計測します。

外乱負荷を与えない状態での速度変化の指令値と実測値です。起動時はどうしてもわずかに乱れていますがハイゲインフィードバックの影響かもしれません。エンコーダ分解能が極めて粗いのと、演算を整数化しているため、一工夫しているとはいえ特に低速時には理想通りには動作させるにはあと何か必要かもしれません。

位置決めサーボでの速度実測値ですので速度定常時にわずかに脈動しているのは問題ではありません。

0.5s毎に外乱負荷を与えた場合の速度です。わずかに外乱の影響はありますが、ハイゲインフィードバックが効いてほぼ安定しています。

実際のモータの移動位置です。位置指令値と実測値にはずれが見られず遅れなく追従しているのが確認できます。外乱負荷を与えた場合でも位置にはほぼ影響がありません。

レゴEV3Lモータは一回転あたり180パルスのエンコーダを内蔵しています。この指令値はちょうど7回転で最終到達パルスが1260パルスになるものです。

レゴEV3Lモータのような簡易的なエンコーダがついたものでも高度なロバスト制御を施した位置決めサーボに発展させると高精度な位置の追従制御ができることが確認できました。

ハードウェアはマイコンと電圧制御タイプのドライバのごく普通の組み合わせのものなのですが、本格的な理論を適用したモーションコントロールが簡単に実現できてしまうのです。

制御理論の応用も特殊なハードウェアを必要とするものでなくだれでも身近に応用できるものを紹介しました。ここではモータを使ったモーションコントロールを例にあげて解説してきましたが、それ以外の用途に活用しても面白いと思います。

オープン制御の場合は、速度指令値を台形パターンにするにはその指令値に比例した電圧となるようなPWMデューティ比率に指定します。

モータ速度は無負荷の状態では与えた電圧に比例して動作するはずです。

実際の運転で起こり得る負荷を想定してモータ軸にブレーキがかかる向きに約0.5s間隔で一定の負荷トルクを与えて出力のモータ速度にどのような影響がでるかを調べてみます。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編】で解説しましたが、DCモータはオープン制御の場合は負荷がかかると、大きく影響を受けてしまいます。

まずシミュレーションで確認してみると、やはり理論で証明されているように出力の速度はかなり変動してしまうことがわかります。

今度は、シミュレーションと同じ条件になるプログラムを作成して、速度指令値が台形パターンとなる電圧をモータに与えたときの速度を実測してみます。

シミュレーションと同じ結果で、ちょっとした負荷ですぐに速度は変動してしまうことが確認できます。

この無防備な状態で、例えばマイクロマウスなどの駆動に適用すると勾配やちょっとした段差などの障害でも望むような動作ができない場合が起こりえます。

そこで、より性能を向上すべくモータ速度をフィードバックした種々の方式で速度指令値（目標値）に対する追従性と外乱の影響を確認していきます。

PID制御のうち、比例と積分要素を補償器としたフィードバック速度制御を構成して性能を確認します。

ステップ応答時と同じ条件で速度指令値を台形パターンにしたものです。補償器の条件は比例ゲインを0.5, 積分ゲインを15にしたものです。

まずシミュレーションで確認してみると、この条件においては外乱の影響に関してはぼぼオープン制御と同じでほとんど改善効果は見られません。

シミュレーションと全く同じ条件で実測した結果をみても同様ですが、オープン制御と異なる点は速度指令値と実際の速度には定常偏差がなくなっている点です。

今回の条件ではゲインを比較的小さめに設定したこともあり、外乱の影響を抑制する効果はほとんどないといえます。もっとも、ゲインをより大きく設定すると外乱の影響を抑えることはできますが、ループ内全体のゲインをあまり大きくするとノイズ等の影響も受けやすくなりあまり好ましくはありません。

PI制御は定常状態の偏差をなくすには有効な方式ですが、外乱負荷の影響をなくすにはあまり効果が期待できないことがわかります。

今度は最もシンプルなフィードバック方式で、効果もあげやすいハイゲインフィードバック方式で検討してみます。

ここではこの方式を"ハイゲインフィードバック"と名づけてはいるのですが、実際にはそんなに大きなゲインは使用しないいたって実用的な方式です。

検証する条件は下記ブロック線図のとおりです。

上記の条件では入力から出力間の特性は実質10msの時定数をもった１次遅れ系となります。詳細はDCモータの簡単で実用的な速度フィードバック制御で解説しています。

まずシミュレーションで確認しますが、オープン速度制御やPI速度制御ではあれだけ負荷外乱の影響をうけていたのですが、この方式では同じ条件であるのにかかわらずほぼ打ち消されていて、速度指令値どおりに追従するサーボ運転となっています。

シミュレーションでは良い結果であったのですが、実測値ではどうでしょうか。

シミュレーションと同じ条件でプログラムを構成して実測してみました。制御アルゴリズムのプログラミングでは積分器を使用するPI制御よりも単純です。

ここでも結果はシミュレーションと同じく外乱の影響をキャンセルして安定して指令値に追従していることが確認できます。

ハイゲインフィードバック方式はシンプルな構造なのにも関わらず効果も抜群の方式でしたが、外乱抑制を高めるためにゲインを大きくすると同時に応答性も向上してしまうことが短所でした。

これで問題がなければよいのですが、外乱抑制と応答性を独立して設定したい場合に有効な方式が2自由度ロバスト制御方式です。

今回の場合もステップ応答で構成したものに速度指令値（目標値）を台形パターンにしたところだけが異なります。シミュレーションやプログラムを構成するのに容易な近似タイプを採用します。【実践で使えるDCモータのロバスト速度制御】参照

まずシミュレーションで確認しますが、ハイゲインフィードバック方式と比較すると、速度が指令値に対してわずかに遅れているのは、近似タイプのため、ロバスト補償器の時定数T_m2をモータ制御対象の時定数T_mと同じ50msにしているからです。

外乱抑制についてはハイゲインフィードバック方式と同じく十分な効果があることが確認できます。

制御アルゴリズムのプログラミングでは１次遅れのフィルターを構成する必要はありますが、そう複雑なものでもありません。

シミュレーションと同じ条件で実測したものでも外乱の影響がなく安定して指令値に追従していることが確認できます。近似タイプでも十分効果があることが確認できました。

一般的なフィードバック制御といえばPID制御がまず挙げられます。難しい理論抜きでも感覚的にゲインを設定して出力を調整することも多いです。

もともと安定しているEV3モータに多少の条件が変わっても一定の目標値を維持するための制御です。偏差eをゼロに近づけるためにPIDゲインのなかでP(比例)とI(積分)要素を使い、特に積分を重視します。

これまで制御システムを評価するシミュレーションはScilabなどのツールを使用してきました。設計評価のときには、制御対象の伝達関数もPI補償器も連続系のs関数でよいのですが、実機で実現する場合、PI補償器はプログラム内で離散系として記述する必要があります。

そのため、実機に近い最終的な動作確認にはExcelによるシミュレーションで評価するのが効果的です。モータなど実モデルは連続系の時間関数、例えばステップ応答時の１次遅れは1-ext(-t/T_m)で記述できます。補償器は離散系で実際のプログラムではサイクル周期を考慮して積分器等を記述します。

Excelにおいて１次遅れのモータ制御対象を連続系として、PI補償器を離散系とした場合の応答です。実際のプログラムではサイクル周期を5msとするために、シミュレーションで5ms刻みの離散系としています。

ステップ入力200時のシミュレーションです。入出力特性は積分ゲインを入れているため、２次遅れ系となっています。比例ゲインKpは0.5、積分ゲインを15とすると振動はおさまっていますが、積分ゲインが大きいため立ち上がりはややゆるやかです。比例ゲインがゼロの場合は積分ゲイン値によりすこしオーバーシュート気味になるかもしれません。

定常時には出力のモータ回転速度は制御器の積分要素のおかげで定常偏差はゼロに近づき安定していますが、立ち上がりの応答は任意に改善することができないことがPI制御の限界です。定値制御であればPI制御でも十分ですが、入力が変化する追従サーボ制御には適用は厳しいかもしれません。

Excelで動作に問題がないことが確認できれば、あとは同じ記述をプログラム内に移植するだけです。離散系のPI補償器の部分はすでにExcel内で記述しているので移植は簡単です。実機のプログラムでの注意点はシミュレーションでは現れない変数の初期値の処理などです。最終的なモータへの出力はPWMのデューティ比で設定します。

シミュレーションと同じ条件の実機の動作です。シミュレーションと同じ応答特性が実機でもみられ、出力速度はオープンPWM制御に比べて定常偏差がなくなり安定しています。

これまで、DCモータの速度をコントロールするのにPWMオープン制御方式、ハイゲインフィードバック制御方式、PI制御方式を行ってきましたがここで集大成のロバスト制御に挑戦したいと思います。

今回実機で実現する２自由度ロバスト制御の詳細はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で解説しています。

まずEV3Lモータに２自由度ロバスト制御を適用する場合のパラメータをシミュレーションツールScilabで評価しながら決定します。２自由度制御システムを実機で実現するには制御対象P(s)の規定モデルP_n(s)を逆システムとして離散化しなければならなく結構複雑になってしまいます。そこで、ここでは思い切って補償器で設定する時定数T_m2を規定モデルの時定数T_nと同じにして近似化します。

近似化すると２自由度ロバスト制御のブロック線図は以下のようにすっきりした形になります。

よくみるとハイゲインフィードバック方式のものに似ていて違いは入力に１次遅れフィルタG_ry(s)があることです。フィードバック部で外乱抑制を向上させてこの部分で応答特性を調整していると考えられます。

ここでもPI制御と時と同じようにまずExcelでシミュレーションして評価します。青色点線で囲まれた制御対象は連続系、緑色点線で囲まれたロバスト補償器は離散系で記述します。

外乱抑制に関してはフィードバックゲインCを大きくすればより効果があります。シミュレーションでは立ち上がりは設定した１次遅れ系時定数50ｍsで起動しています。

実機での２自由度ロバスト制御の応答です。時定数T_m2は50msが今回の近似システムの条件ですが、試しに、時定数T_m2を違う値に設定してみたところ、近似モデルにおいても時定数により立ち上がりに違いは多少現れていました。ここでは現れていませんが、外乱負荷を与えても出力の回転数はとても安定しています。

いわゆるロバスト制御の特長がよく現れていて比較的に簡単に実現できますので、ちょっとしたアプリケーションに積極的に採用できるのではないかと思います。

これまでは速度フィードバック制御について、定値制御のステップ応答で検証してきました。実践的な速度入力としては台形波パターンなどを与えることが多いので次回は入力に追従する速度サーボ制御について、各制御方式で比較検証していきたいと思います。

DCモータにギアを介したレゴ®マインドストームEV3Lモータの数式モデルは電気回路、機械の運動方程式から求められ、厳密には入力電圧から出力速度間の伝達関数は2次遅れ系となります。

本来の数式モデルは機械的伝達機構のモデル化も含むので結構複雑ですが、このモータのフィードバック制御を実践で取り扱うためにはできるだけ現実に即したモデルである必要があります。つまり、いくら高精度で高度に数式モデルを作成しても実際のパラメータ変動などで意味のないものになってしまうからです。

そこで、現物の特性を押さえたできるだけ簡素化したモデル化をするのが現実的です。

モータ端子電圧を入力、EV3Lモータの回転速度を出力としたときの伝達関数は1次遅れ系で近似できますので、入力の端子電圧をステップ状に与えたときの回転速度の変化から時定数T_mを調べます。最大電圧時（7.2V）のときの速度は410p/sであるため、伝達関数ゲインK_mもわかります。

これで伝達関数の近似モデルが求まりました。実際の波形をみても、1次遅れですので近似モデルで設計するのが実践的であることがわかります。

EV3Lモータの入力に端子電圧7.2[V]を与えるとギアを介した負荷側の回転速度は時定数T_mで起動して、定常で410[p/s]になるということです。実際のプログラムにおいては7.2Vの指令をあたえるのにPWMのデューティ比（この場合は100）を指定することになります。

エンコーダからのパルスを単なるモニターでなく速度フィードバック用のセンサとして使用する場合はセンサによる速度の細かな変化データが必要なため、本来は分解能の高い高性能のエンコーダを使用する必要があります。

今回のEV3Lモータのようにエンコーダが負荷側に装着していて分解能が比較的粗い（180p/r）場合は、測定精度を上げるために一工夫必要です。測定には簡易的なエンコーダでも高精度エンコーダに劣らない工夫を施しています。

速度フィードバックの中でも最も簡単で効果の見られるハイゲインフィードバック方式で特性改善を試みます。ハイゲインフィードバック方式はフィードバックゲインC₁と出力調整用ゲインC₂で構成します。

ハイゲインフィードバック方式のブロック線図です。 フィードバックゲインC₁を上げるほど特性が改善されるのでハイゲインフィードバックと呼ばれます。ただし、現実的にはノイズなども増幅してしまうことになるため、実現できる範囲は限られます。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【解析編】の内部安定性で解説していますが、フィードバックゲインC₁が比較的小さい場合はノイズから出力までの時定数が大きくローパスフィルタ特性が効果的なのですが、大きくなるに連れて時定数は小さくなり（カットオフ周波数は高くなる）、ノイズの影響は受けやすい傾向になります。

今回のEV3Lモータをハイゲインフィードバック方式に適用するとこのようになります。オープンループ制御との大きな違いは速度目標値がシステムの入力となっていてモータ回転速度をフィードバックさせている点です。

青点線で囲まれた部分はEV3Lモータそのものの制御対象で、緑点線部がハイゲインフィードバックを施したコントローラ部です。ここの部分はプログラミングで実現します。

実機に制御理論を適用する場合に大切なポイントは扱う信号の次元（単位）を常に意識することです。ここではあえて次元を揃えるために変換係数K_nを設けていますが、これはあってもなくても結果は同じものになります。

プログラムの記述をできるだけ簡素化するためにさらにモデルを近似化します。実際のプログラムにおいては電圧指令にアナログ電圧値そのものを指定するのではなくPWMのデューティ比（0-100）を指定します。つまり最大入力時のデューティ比100%に対する最大速度パルスを400p/sに近似すると以下のようにとてもシンプルなブロック図となります。

ここで改善後の最終的な入出力間の特性を決めるためのゲインC₁とC₂を決定します。もともとの制御対象の1次遅れ特性T_m=50ms をフィードバックを施すことでT_m2=10msへ改善するものとします。

この場合、ゲインC₁は一意的に決定されてC₁=4となります。その結果、ゲインC₂=5となりますが、これは必要に応じて最終的に出力をみながら微調整します。

これで入力を速度目標値にしたときの出力速度までの伝達関数G_ry(s)の特性は時定数T_m2の1次遅れとなります。時定数も外乱の影響も1/5倍となっています。C₁のゲインにより特性改善はできますが、実現できる範囲で設定します。応答と外乱抑制は独立して設定できないところがこの方式の限界です。

詳細はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】のハイゲインフィードバック方式との比較を参照してください。

EV3 Lモータが時定数50msの1次遅れ近似モデルであることが算定できましたのでいよいよこのモデルをベースとしたさまざまな制御システムで動作を確認していくことにします。

実機での制御システムを実現するとシミュレーションでは現れなかった現象がでるものです。これはドライバからモータへの入力制限であったり、センサや処理内容の分解能などにより想定外の結果になる場合もあるので、可能な限り条件は織り込んでおく必要はあります。

EV3 LモータはDCモータベースモデルのため、オープン制御でもPWMパルス出力のデューティ比を変えるだけで速度を調整できます。

下図ではPWM比を48[%]に設定したときのエンコーダからのパルス[p/s]を示しています。ドライバに与えた電圧V_m(7.2V)の約半分であることで速度も半分となっています。

95%PWMduty比のステップ入力を与えた場合のオープンループのPWM制御の応答です。縦軸はエンコーダから得られる速度信号で単位は[p/s]です。横軸は経過時間で単位は[ms]です。

起動後、時定数T_m (50ms)で目標値に到達しています。

次に、速度目標入力を200[p/s]に設定したハイゲインフィードバック方式のステップ応答を示します。 フィードバックゲインC₁を１から4に設定した場合です。応答波形をみるとオープンループPWMの場合に比べて、ハイゲインフィードバック方式はゲインC₁を大きくするにつれ時定数が小さくなり応答が改善されています。

ハイゲインC₁を3より大きくしても応答が変わらないのはモータ電圧出力制限によるからです。そういう意味で、最大入力400[p/s]のステップ信号を与えた場合は100%で起動しますのでゲイン C₁ を変えても応答の改善はありません。

これまで、速度フィードバック制御として最も簡易的で効果の高いハイゲインフィードバック方式でオープンループPWM制御方式に対して改善できるかを検討してきました。 EV3Lモータはエンコーダを持っているのですが、分解能はあまり高くなく入力は電圧制御型ドライバPWMデューティ比を変えているだけなので高度なフィードバック制御を施すには制限はあります。

次回はこのような条件下で速度PI制御や２自由度ロバスト制御を適用するとどんな結果になるか検証してみたいと思います。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編】でDCモータの開ループ特性について解説しました。ここではマイコンのPWM出力を利用した電圧制御による速度制御について実機を使って確認します。

DCモータは無負荷という条件付きではありますが端子電圧を調整することで回転速度もそれに比例して調整できます。そこで、端子電圧にPWMで設定したパルス状電圧を与えて回転させてみることにします。

実機にはレゴ®マインドストームEV3のLモータを使用します。このモータには多段のギアが組み込まれていてギア比は48:1、エンコーダは負荷側に装着されていて互いに1/4周期ずれたA相、B相のパルスを出力します。各相パルスの実測値分解能は180P/Rです。つまり1回転あたり180パルスが出力されます。負荷側の定格回転数は160-170r/minとなっています。

このモータモジュールを使うにあたって、モータ単体のものでなくギアも含めた一体のものとして特性を調べることにします。つまり、入力はモータの端子電圧で出力は負荷側の回転速度となります。

モータは誘導性負荷の典型的なもので、電力も大きく、マイコン出力を直接つないで運転させることはできません。そこで、マイコン用の電源とは別途のモータドライブ用電源V_Mを用意し、トランジスタなどの増幅素子を介してマイコンからの運転信号でドライブします。

一から始めてトランジスタ等を組み合わせてドライブ回路を構成することもありますが、ちょっとした用途ではモータを運転するための専用のICを使用することをおすすめします。必要な機能が内蔵されていてサイズは小さい割にドライブの容量が大きく価格も低いためです。

これはモータドライバと呼ばれる一種のパワーアンプです。 詳細は割愛しますが、ドライバにはトランジスタ、FET等のパワーエレクトロニクス回路が内蔵されていてマイコンからの信号によりモータへの任意の電圧や電流を調整できるものです。ドライバの種類により電圧制御タイプや電流制御タイプがあります。 今回使用するTB6612FNGは電圧制御タイプです。

モータドライバTB6612FNGはドライバに接続したモータ用電源V_Mをマイコンから与えたPWMパルスのデューティ比率に応じてモータ端子電圧とするICです。モータの回転方向はIN1とIN2を組み合わせて切り替えます。

DCモータはブラシを内蔵しているために整流子との間でノイズが発生し、マイコンに影響を及ぼします。 そこで、通常はモータ端子にセラミックコンデンサ（100nF）をノイズ対策用としてつないでおきます。小型モータであればこれでよいと思います。今回使用するTB6612FNGのドライバモジュールはコンデンサを内蔵しています。

マイコンからのPWM出力によりモータ端子電圧はパルス状になりON期間に駆動トルクによるドライブ運転、OFF期間に逆起電力によるブレーキがかかる運転となります。端子電圧がパルス状でもモータにはインダクタンス成分がありますので電流は電圧の1次遅れとなり連続になります。

電流の変化率はモータのインダクタンスおよび抵抗値成分で決まる電気的時定数L/Rによりますが、PWMのスイッチング周波数が低いと電圧オフ期間（ブレーキ運転時）に電流は低下しすぎてしまい、モータ軸慣性があるとはいえ発生トルクに脈動が生じることになり、逆に周波数が高いと電流はなめらかになりますがノイズやスイッチング損失が大きくなるのでやみくもに高くもできません。

一般にモータ電気的時定数に対して10倍程度のスイッチング周波数にすればよいといわれています。 とはいえ、電気的時定数が不明であるため、まずは10kHzあたりのPWMスイッチング周波数で試してみようとおもいます。

下表はドライバ仕様書に記載の運転モードについてです。入力IN1とIN2の組み合わせでモータ回転方向を指定したり、俗に言うRUN信号の機能として使用します。PWMは信号のパターンがモータ端子電圧になるものです。ON時に駆動して、OFF時にモータからの逆起電力が発生してブレーキがかかることになります。PWM入力はマイコンのPWMタイマ出力に接続します。

電動モータのドライブ機器でインバータはよく耳にすることがあると思います。これもパワーエレクトロニクス搭載のモータドライブ機器ですが、インバータは3相誘導モータ用で交流出力の周波数を変更することでモータ速度を任意に変更する機器です。

DCモータのドライブ回路はこのインバータ出力3相のうち単相部分を使ったものに相当し、4象限チョッパ回路とも呼ばれるものです。 モータ回転の正転逆転、発生トルクの正と負を4通り組み合わせた運転ができるのことから4象限回路といいます。ドライブ運転とは回転方向にトルクを発生して駆動させる通常運転のことで、ブレーキ運転は回転方向とは逆のトルク、つまり逆起電力を発生させながらブレーキをかける運転のことです。

モータドライバTB6612FNG ではドライバへの入力IN1とIN2の組み合わせで第1象限から第4象限の運転を切り替えます。

チョッパ回路は下図の4つのトランジスタなどのパワースイッチング素子(Tr1,Tr2,Tr3,Tr4)で構成されています。PWMのパターンに応じてこれらのスイッチング素子のON・OFFで組み合わせますが、スイッチ切り替えの過渡期に組み合わせが重なって同時にONとなり短絡になってしまうのを防止するためにデッドタイムというものを設けています。

ドライバTB6612FNGはブレーキ運転時にコイルで発生した電力を回路内で吸収する回生方式ですが、電流制御タイプTB67H450FNGでは電源に返す回生をおこなっています。ドライバによりスイッチング素子の組み合わせは違うようです。

VR(可変抵抗)からのアナログ入力信号を速度指令信号として与えます。モータドライバへのPWMパルスデューティ比率はアナログ入力値と連動させて速度を変化させるプログラムです。

今回はDCモータのオープンループ制御ですので速度指令値に相当するPWMデューティ比率を変化させてモータ回転速度が変化する様子を確認してみます。

エンコーダ、シリアル通信はモニタ用です。

出力側にはドライバへモータ電圧指令としてのPWMタイマ出力を与えます。ドライバのIN1/IN2には運転モードにあったロジックの組み合わせをプログラムで指定します。

USER SWを押すたびに正転(CW)、ブレーキ停止、逆転(CCW)、 ブレーキ停止のサイクルを繰り返すプログラムとしています。

ドライバ入力は内部でプルダウンとなっていて6Vまでのロジック電圧入力仕様なのでマイコンはプッシュプル出力とします。

EV3Lモータのコネクタ仕様です。エンコーダからは電圧パルスが出力されます。

マイコンボードNucleo-F103RBでEV3Lモータを動かす全容です。 レゴ®モータのソケット部は特殊なので汎用の電話用モジュラーコードに変換しました。

PWM出力のduty比とエンコーダによるモータ速度をシリアル通信モニターにてPCに表示します。モータ電源V_Mが7.2Vの場合、ボリュームを調整してPWMデューティ比を0から100まで変化させると 速度は比率にほぼ比例して0から約40まで変化します。

速度40とは100msサイクル内で計測したエンコーダパルス数なので1秒当たり400パルス、つまり400/180回転に相当します。1分当たりだと約133回転です。規定の回転数(最大）が160-170rpmだそうですので モータ電源V_M を最大の9Vにするとほぼ一致します。

無負荷運転時の入力指令値に対する速度です。端子電圧が極めて小さい領域(duty比0-5％)ではモータ軸、ギアの摩擦などの影響で起動しませんが、一度回転始めると出力速度はデューティ比つまり端子電圧にほぼ比例しています。

PWMスイッチング周波数を5kHz, 20kHzおよび40kHzに変更してドライブさせてみたのですが、気になるトルクの脈動はなく状態の違いはみられませんでしたので、10kHzのままでいいかと思います。機会があれば電流波形で確認してみたいと思います。

DCモータのオープンループ制御なので、無負荷であれば回転速度は端子電圧に比例しているのですが少しでも負荷をかけると速度は簡単に変動します。負荷によらず安定した速度を保つためにはセンサーによる速度フィードバック制御が必要です。次回はフィードバックループで構成した速度制御システムを実機にて検証したいと思います。

これまで伝達関数をベースとしてフィードバック制御について検証してきました。いわゆる古典制御でのアプローチです。制御できるのは原則として1入力1出力の制御対象システムで温度コントロールや単体モータのモーションコントロールなど身近なフィードバック制御の大部分はこれに適しています。

これに対して、少し複雑なシステムで典型的なものが倒立振子の制御があげられます。台車型の倒立振子を例にとると、倒立振子はもともと不安定なものなのですが安定した倒立状態を保つためには台車の位置を微調整して常に振子の重心位置とのバランスをとることをします。

制御の目的は振子の倒立角度を台車に対して垂直にすることですが、間接的な台車の位置も同時に制御するために押す力などを入力とするいわゆる1入力多出力のシステムとなっています。

古典制御のPID制御などでゲインを適切に設定し、台車位置と振子角度を同時に制御することは不可能ではありませんが、場当たり的な調整では大変なうえ、かえって制御システムを複雑にしてしまいますので無理があるようです。

このような台車位置や振子角度のような複数の変数を同時に安定化させるのに適したものが現代制御理論です。現代制御理論ではシステム内部で扱う複数の変数を状態変数とよび、これらを同時に安定化させるための理論です。

倒立振子には大別すると２種類あり、台車上に支点のある振子を搭載した台車型と２輪軸に振子の支点がある車輪型があります。

台車型倒立振子は台車の位置Xを、加えた推力Fにより調整して振子角度θをゼロに近づけるもので運動方程式も比較的簡単で台車と振子の干渉もそれほど多くなく制御もしやすいといわれています。

対して、車輪型倒立振子は車輪の回転角Φを、トルクT_Rにより調整して振子の角度θをゼロに近づけるものですがトルクT_Rが車輪の並進とともに振子の回転にも影響を及ぼし互いに干渉し合うために運動方程式は少し複雑になっています。

本編では倒立振子に現代制御理論を適用して、その有用性をシミュレーションにより検証していくのですが、後にLEGOの実機を使って検証したいのでそれに合わせて 車輪型倒立振子を取り扱います。

車輪型倒立振子の運動方程式は結構複雑で算出するのは大変なのですが、ここでは 以下のモデルで算出過程は省いてできあがったものを使用します。

①は車輪、②は振子の運動方程式です。これらを導くのに以下の近似と線形化をしています。

入力はモータへの電圧あるいは電流で、駆動する車輪はモータ軸からギア等伝達機構により連結していて、それらをすべて含むと①式は以下の①'になります。車輪および振子の質量やモーメントが影響しあって複雑な式になっています。

制御をするにはまずベースとなる数式モデルが大事なのでこれまで頑張って運動方程式を導いてきました。

通常、学術論文などでは導いた運動方程式①’に基づいてトルクを計算して相当する電圧や電流に変換した入力としているみたいですが、実際のところモータ軸慣性や粘性摩擦等を取得するのが困難なうえ、仮にすべてのパラメータが取得できてもパラメータの変動はつきものでトルク計算方式によるものは実用的な観点からは??な気がします。

つまり、制御したいのは振子角度や車輪あるいは台車の位置なのですが、いくら複雑な数式からトルクや推力を求めてもそれらは間接的であってあまり信頼できないのです。

そこで、マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で近似モデルの解説をしましたが、ここでも電圧か電流入力uから出力の車輪速度までを1次遅れで近似した伝達関数を使用します。

これで車輪の運動方程式①"はすごく単純で実用的なモデルになりました 。 ただし、振り子による干渉項（①,①'式の2項目）は無視しています。振子の運動方程式②はまだ複雑なままですが、今回はまだシミュレーションの段階ですのでパラメータは既知であるとします。

実装する場合には振子の部分も近似モデル化するのですが、振子のパラメータとして大事なものは周期と減衰の特性ですのでこれらのパラメータだけでも同定を行い取得することになります。

運動方程式①''②を変形して状態方程式③④の形にします。これが車輪モデルを近似した車輪型倒立振子の状態方程式です。

現代制御理論で検討するために下記の形式になおします。現代制御では見慣れた形式でこうしてようやく解析を開始できます。

この方式の問題点は近似化するにあたり、振り子の影響を無視していることです。つまり、入力uが電圧や電流では車輪速度は実際には振り子の動作が外乱負荷として多少なりとも干渉するということです。これを解決するのが次に解説する車輪速度入力方式です。

前回の車輪近似モデルを用いた倒立振子でも十分実用的になったのですが更に一歩すすめて、今度は入力がこれまでの電圧や電流でなく、車輪速度である場合で検討します。

モータの電圧や電流を入力とした場合は、簡素化はしたのですが、振子の影響（干渉）が車輪に及ぼす問題は解決はされていませんでした。そこで今度は車輪速度を入力とした速度制御系にすることで車輪は振子の影響をうけないロバスト性を高めたものになります。

以前DCモータのロバスト制御で解説したとおり、2自由度制御とすれば完全なロバスト制御となりますが、今回は簡易なハイゲインフィードバック方式による車輪速度制御で検討を行います。

車輪速度制御にて車輪速度入力に対して出力が１次遅れとなる場合の状態方程式は⑤⑥になります。車輪の方程式は任意に設定できる時定数T_m2だけがパラメータとなっているのが特徴です。

ハイゲインフィードバック方式なのでロバスト性はフィードバックゲインC₂が大きいほど向上しますが、同時に時定数T_m2にも影響するので小さくなりすぎないように実現できるレベルで設定します。

現代制御理論形式の状態方程式です。形式的には電圧や電流を入力とした近似モデル方式と似ていますが、内容は全く違います。

外乱抑制を向上した車輪速度制御系になっていますので車輪速度は振り子の影響を受けずに指令入力に追従します。これまでのように車輪のトルクではなく車輪の速度により振り子を安定化させるところが異なるポイントです。

現代制御理論では扱う各状態変数にゲインを乗じたものを入力へ戻す状態フィードバックを施すことで不安定なシステムも安定化することが可能となります。

これにて、システム全体のもともとの行列Aが不安定（行列Aの固有値が不安定）なものであっても状態フィードバックを施した行列A-BFはゲインを適切に設定すると安定させることができます。

システム行列の固有値は古典制御における特定方程式の解と同等のものですべての固有値が安定であることは状態変数が時間経過とともにゼロに収束することを意味しています。

現代制御理論では可制御性や可観測性などの評価が必要なこともありますが、ここでは両方とも可能なものとしています。

古典制御において伝達方程式の特性多項式の解がすべて安定になるように極配置をおこなったことと同じく、現代制御理論においても極を任意に設定して状態フィードバックゲインを算出しシステム行列の固有値すべてを安定させる方法を極配置法といいます。

安定した極は実数部が負であることはわかるのですが実機にて実用的な動作を実現するための値設定をどのように決定すればよいかが定量的にはよくわからないものです。ある程度試行錯誤的なところはあります。そこで定性的かつ定量的な評価として用いられる方法が次に説明する最適レギュレータです。

極端なはなし、極配置法にて当てずっぽうで配置しても何が正解かはわからないため、評価の指標が欲しくなります。こんなときに一つのツールとして威力を発揮するのが最適レギュレータです。

最適レギュレータの数学的なことはさておき、式の意味するところは各状態変数の収束性と入力エネルギーuの消費抑制の評価指標をJであらわし、目的はJが最小になるように極配置されるフィードバックゲインを取得することです。

各状態変数に対する重みQでどの変数の収束性を重視するかで値を大きく設定したり、小さく設定したりします。 収束性を重視すると多くの操作量を必要とするので実現できるかを考慮するとやみくもに大きくもできません。 エネルギー消費の重みrは通常1にしておくことが多いそうです。

最終的な重みの決定はシミュレーションソフトや実機などで調整していくところです。極配置法に比べ、評価の指標があるので調整の目安となるところが現実的です。

シミュレーションソフトScilabを使用すれば極配置法においては任意の極を指定し、最適レギュレータおいては任意の重みを指定すればそれに応じた各状態変数のフィードバックゲインを算出してくれますので設計が簡単です。

難しい数学的な評価はさておき、ある程度簡単に現代制御理論を使うことはできるようになりました。

最適レギュレータで重みをQ=diag[5 5 1 1] 、r=1に指定して評価取得したゲインはF=[-2.2 -103 -3.2 -12.6]となったのでこれで設計したブロック線図は下図のようになります。

通常、状態変数Xは時間経過とともにゼロに収束するのですが、ここでは車輪位置(角度)を目標値 Φ^ref として5に設定（Φ’=Φ－Φ^ref）したときの応答を示します。目標値がゼロ以外の状態変数車輪位置ΦはΦ’に相当します。

状態フィードバックした入力u(t)が以下のような車輪の速度指令になっているところが特徴です。

実機においても、このような状態で運転できれば安定して倒立させながら同時に車輪の位置を変更させることができることを意味しています。

ちなみに、状態フィードバックを施す前のシステム行列Aの固有値は[-8.2 6.2 0 -20.0]で正の値が含まれるので不安定なのですが、施した後の システム行列A-BFの固有値は[-29.2 -7.5 -6.5 -1.6]ですべて安定な値となっています。

これは、状態フィードバックを施す前のシステム行列Aつまり車輪型振子は何も入力しなければ不安定な状態のままで、これに状態フィードバックを施した入力を与えたシステム行列A-BFでは振子の倒立も車輪位置も同時に安定していることを意味しています。

振子角がゼロ（垂直）で起動した直後は一旦振子を前かがみにさせるために車輪位置は瞬時に後退していますが、目標値５に収束するようすが現れています。

5秒目で入力にパルス状の外乱を加えたのですこし乱れますがすべての状態変数は安定して収束しています。

振子角は起動時に前かがみになってからすぐにゼロに収束しようとし、わずかなアンダーシュートはみられますが安定しています。外乱を与えても収束しています。

アドバンスト制御のなかでも、本編ではロバスト制御を解説していきます。

ロバスト制御というものはDCモータなどの物理的な制御モデルを数式化した際のモデル化誤差や負荷変動などの制御対象P(s)の入力側に加わる外乱、およびセンサノイズなど制御対象の出力側に加わる外乱に対して制御出力が影響を受けにくい制御システムのことをいいます。

ロバスト制御では、端的にいうと外乱d、観測ノイズn、および多少のモデル誤差化⊿があっても入力rから出力ｙまでの伝達関数 G_ry(s) が設定した特性（例えば時定数T_rの１次遅れ）になるように補償器C(s)を設計します。

ロバスト制御のうちでも、PID制御なみに簡易に実現できるものであれば、ちょっとしたアプリケーションにも積極的に適用したいものです。本編ではそんな比較的気楽に扱えるような実用的なものの検証をしていきたいと思います。

従来のPID制御はフィードバックループ内にあるPID補償器の比例・積分・微分ゲインをそれぞれ設定して出力を調整するものです。各ゲインの決め方は経験に基づいた値を試行錯誤的に決めることも多いようです。

PID制御の利点は理論的なものを理解していなくても手軽に感覚的に設定できることですが、ゲインにより調整できるのは応答性であって、外乱などに対しては特性の根本的な改善はできません。

また、PID制御を始めとする従来のフィードバック制御ではループ内のゲインを上げる（増幅）ことによって、安定性や応答性を改善することはできますが、同時にモデル化誤差やノイズなど望まないものも増幅してしまうことにより想定したとおりの性能がだせない場合も起こりえます。単なるフィードバック制御では精度や応答性の向上を望むには限界があるといえます。

そこで、ロバスト制御を実現するのにあたって応答特性と外乱抑制を独立して設定できる２自由度制御システムと呼ばれる制御方法があります。ロバスト制御には他に外乱やモデル化誤差を推定して変化分をキャンセルする外乱オブザーバー的な方法もありますが、本編では２自由度制御を取り扱います。

2自由度制御にもいろいろありますが、今回取り扱うものは、最もシンプルで誰でも検証しやすく、プログラミングなどでも実現しやすいものです。

入力rから出力ｙまでのブロック線図は下図の形になります。通常のフィードバック制御用ループに加えて入力から分岐した情報を加えた形になっています。

上のブロック線図の配置を並べ替えると下図のような等価ブロック線図となります。これが意味しているところはフィードバック部とフィードフォワード部で構成されていて、外乱抑制はフィードバック補償器C(s)、応答特性はフィードフォワード部のG_ry(s)およびP_n(s)で改善します。これらが干渉することなく独立して設定できることから２自由度と呼ばれています。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編 】ではDCモータの特性についてモータ回転速度は入力電圧を変化させれば調整できることを説明しました。無負荷であれば回転速度は入力電圧にほぼ比例していますので入力をu、出力をｙとすると下図のような１次遅れで近似モデル化できます。

近似モデルゲインK_m、時定数T_mは実際の入力を与えたときの回転速度yを実測して得られるものに相当します。これは一種のパラメータ同定と呼ばれますが、DCモータの実際の慣性モーメントJや粘性摩擦Dといった物理的なパラメータでなく近似モデルのパラメータです。

入力uから出力ｙまでの物理的パラメータが K_mとT_mに集約されていてより実用的なモデルです。 入力は電圧でも電流でもよく、パラメータ K_mとT_m はそれに応じた値になります。 K_m は伝達関数のゲインなのですが、入力から出力までの変換係数といった捉え方がわかりやすいのではないでしょうか。

DCモータを制御対象にした2自由度制御システムによる速度制御を解説します。

制御対象P(s)には入力uを電圧または電流、出力yをモータ回転速度とした1次遅れモデルとします。この実モデルは変動の可能性があるパラメータK_m, T_m を持ちますが、この規範モデルをP_n(s)とします。

規範モデルP_n(s) のパラメータは実モデルP(s)のパラメータ同定により得られたパラメータK_m,T_mをそれぞれ規範モデルパラメータ K_n,T_n とし、フィードフォワード補償器内で使用するものです。

フィードフォワード補償部は特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)および規範モデルの逆システムPn (s) ^-1 で構成され、フィードバック補償部には、ロバスト特性を決定するゲインC（制御対象により今回は定数）が入ります。

特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)は時定数T_m2の1次遅れとしますが、時定数T_m2は実現できるレベルで設定する必要はあります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がなく P(s) ＝ P_n(s) である場合、入力ｒから出力ｙまでの伝達関数は設定した目標応答特性G_ry(s) となります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がある場合、下図の⊿(s)が変動分です。フィードバックゲインCが大きいほど変動誤差の影響は小さくなるので 設定した目標応答特性G_ry(s) に近づきます。

今回設定したフィードフォワード補償のタイプでは変動があっても、実モデルパラメータと規範モデルパラメータが互いに相殺しあうかたちになっているのも特徴です。

ここが、2自由度ロバスト制御の本質的な部分です。外乱特性はフィードバックゲインCにのみ関連していて応答特性を決定する 目標応答特性G_ry(s) とは無関係です。
ゲインCが大きくなるほど出力への影響は小さくなることがわかります。この値も実現可能な範囲で設定します。

今回の2自由度制御では 目標応答特性G_ry(s) を1次遅れとしているため、負荷トルクが定常負荷のように一定で大きい場合は、定常誤差が発生してしまいます。この誤差を小さくするためにはフィードバックゲインCを大きくすると零に近づきますが収束するわけではありません。

どうしても、出力を目標値に一致させるためには外側に定常偏差をなくすためのPIフィードバック補償ループを追加して適当な比例、積分ゲインを調整します。

実装のポイントはロバスト制御部をできるだけ高速で処理し、PIフィードバックによるサーボ補償のループをそれよりも遅い処理にして相互干渉による影響をなくすことです。

検証した結果の時間応答をシミュレーション（ Scilabを使用 ）して確認します。

DCモータに開ループ状態でステップ入力時にパルス状の負荷外乱を与えたときの応答です。ちょっとしたパルス状の負荷でも出力に大きな影響を与えることがわかります。

今度はステップ状の負荷外乱を与えたときの応答です。 指令値から大きく下がったところで負荷に応じて発生トルクと釣り合ってしまっています。

目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を50ms、ロバスト補償器ゲインCを0.5とした条件でパルス状外乱を与えたときの出力応答です。制御対象には、規範モデルに対してKmは+30%、Tmは-20％の モデル誤差に加えて、時定数10msの1次遅れ寄生要素を追加しているので2次遅れ系となっていますが、多少のモデル化誤差では出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱を短期間で抑制しているのがわかります。

ロバスト補償器ゲインCを更に大きくすると外乱やモデル化誤差の変動の抑制効果は向上します。

ロバスト補償器ゲインC だけを3に増加してから外乱をステップ負荷としたときの応答です。ここでも 出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱の影響が出力にほぼ現れず、ロバスト制御の効果が見られます。応答特性と外乱抑制特性を独立して設定できる2自由度制御の効果をよく表しています。

簡易的な速度制御特性を改善する方式にハイゲインフィードバック方式があります。出力側をゲインC₁を介してフィードバックし、 ゲインC₁とC₂の値を組み合わせて外乱を抑制しながら入出力間のゲインを1に近づけことができるとても簡単な方式です。

外乱特性を向上するためには 外乱抑制用フィードバックゲインC₁を上げれば改善できます。C₁の大きさに頼るところからハイゲインフィードバックと呼ばれます。

応答特性は全体のゲインが1になるようにC₂により調整することで求められますが、外乱抑制用ゲインC₁の大きさに依存するうえに、任意の応答特性を得ることはできません。また、外乱を抑えるためのハイゲインに頼ることになるため、出力側センサーからのノイズの影響を受けないように注意する必要があります。

パルス状の 外乱負荷として加えたときの応答をシミュレーション結果です。外乱パルスはフィードバックゲインC_１により抑制されていますが同時に応答も影響をうけてゲインやモデル化パラメータによっては過応答になってしまいます。

外乱抑制と応答特性はフィードバックゲインC_１により決定づけられてしまいますが、実現できる範囲で設定できるようであればハイゲインフィードバック方式は最も簡単で実用的です。

速度制御モデルが外乱やモデル化誤差の影響を受けない目標応答特性G_ry(s)でモデル化されていると簡単に位置決め追従制御に発展できます。ここでは、産業用途ではよく目にする速度制御用フィードバックループの外側に位置制御用フィードバックループで構成されているタイプとは異なる、加速度指令方式位置決め追従制御を解説します。

速度応答が外乱やモデル化誤差の影響をうけない目標応答特性G_ry(s) である場合、速度の微分である加速度を指令とした場合、入力から出力までの伝達関数は目標応答特性G_ry(s)を積分したものになります。

応答 G_ry(s)の時定数T_m2は実現できる範囲で十分小さく設定することが好ましいです。

加速度指令値を生成するために予め位置θ₀、速度θ^'₀、加速度 θ^"₀ の追従軌道の目標値を作成しておきます。加速度参照値θ^"₀をフィードフォワード項として、速度θ^'₀、位置θ₀参照値と実際値 θ, θ^' との誤差にそれぞれゲインK_v, K_pをかけたものをフィードバック項として加速度指令値 θ^"refとします。

ゲインK_vとK_pは 2次遅れ系の応答を参考にして目標の速応性および減衰性を考慮して簡単に決定できます。設定した2次遅れ系の応答で起動時の誤差が収束すると⊿θ(=θ₀-θ)は0、つまり実際位置θは遅れなく参照値θ₀に追従することになります。

上式が成立するのは速度系にロバスト制御が施されていて速度指令値θ^'ref ≒ 速度θ^' となることにより加速度指令値θ^"ref ≒ 加速度θ^" とみなせるからです。

上式だけ見ているとゲインK_V、K_Pは任意に決めても問題なさそうですが ゲイン選定を適当にすると応答は乱れる可能性があります。 これらのゲインで2次遅れ系規範モデルを構成することになるからです。

位置決めサーボ系として見た場合、指令値に目標位置θoのみ与えた場合は目標値θoから出力θまでの伝達関数は2次遅れ系の規範モデルK_P/(s²+K_Vs+K_P)となり、出力θは遅れて追従します。

規範モデルに対して指令値に加速度θ^"oおよび速度θ^'oを含めることにより、それらが位置決めサーボ系ではフィードフォワード的な役割を果たし、出力θは定常偏差がなくなり目標値θoに遅れなしに追従するようになるのです。見方を変えると規範モデルの逆システムを構成するのと等価になります。

つまり、システムとしては規範モデルが安定であることが必要で、仮に不安定な極をもつ規範モデルに対して、不安定な零点をもつ規範モデルの逆システムを構成すると、数式上では相殺されるので問題がなさそうですが、実際は必ず遅れ要素やモデル化誤差および外乱等が存在するため、相殺されることはなく不安定なままであるということです。

速度系目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を10ms、ゲインK_vとK_pは 速応性ω_n=10,減衰 0.8としてK_v＝16, K_p=100 としたときの追従性をシミュレーションしてみました。比較的緩やかな目標値の場合ですので時定数が大きめでも位置は遅れなく追従できていることが確認できます。