マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【解析編】

伝達関数とはシステムへの入力を出力に変換する機能を複素関数で表現したものです。時間空間の入力u(t),出力y(t)のシステムをラプラス変換した複素数空間ではそれぞれU(s),Y(s)で表すとすると、伝達関数G(s)は以下のように表現します。

ブロック線図とは入力から出力間の伝達関数を通る信号伝達の様子がフローチャートのように機能ごとに分類されて視覚的に分かりやすく表現したものです。基本的な要素の3通りを知っておけばよいです。

1次遅れ伝達関数G(s)にt=0でu(t)=1のステップ入力を与えた時の出力y(t)の時間変化を見ると入力に対してある時間（時定数T）だけ指数関数特性で遅れる性質のものです。入力に対して出力がなまりますが振動は発生しません。電気回路で抵抗器RとコンデンサCで構成したRCフィルターが1次遅れ特性を持っているローパスフィルターと呼ばれるものでRとCのパラメータで時定数Tを調整できます。

2次遅れ伝達関数G(s)にt=0でu(t)=1のステップ入力を与えた時の 出力y(t)の 時間変化を見ると入力に対して減衰比ζに応じて応答が振動的になったり非振動的になったりしています。1次遅れ系に比べて出力信号の立ち上がり部分が滑らかなS字カーブとなっているのも特徴です。

減衰比0<ζ<1で振動的になり0に近づくほど振動が大きくなりζ=0ではついに持続振動系となって収束しなくなります。ζが1より大きい場合は非振動系となって値が大きいほど収束しにくくなります。経験的にサーボ機構などの追従制御の場合はζ=0.6~0.8、プロセス制御など定値制御の場合にはζ=0.2~0.4あたりが適当だといわれています。固有角周波数ω_nは速応性の尺度で大きい値ほど振動周期が小さくなり応答性はよくなります。

ここで、1次遅れ系と2次遅れ系の制御対象であるものについて物理的な意味を考察してみましょう。

以前、DCモータの機械系をモデリングしたのでこれを例にとって考えてみます。入力がモータトルクTm、出力がモータ回転速度Ωとすると粘性摩擦Dがある条件では回転速度はモータトルクの1次遅れとなっています。

つまり、回転体にトルクを与えると、回転速度は1次遅れで動作するのです。静止したフリーの回転体にある時点で一定のトルクTmを与えると（ステップ入力）、回転体は静止状態（速度0）から回りはじめ、トルクTmが粘性摩擦Dによるブレーキ力とつりあったところで一定の回転を保ち続けます。

この入力に対して慣性Jと粘性摩擦Dにより遅れながら起動するのが1次遅れ系の物理的なイメージです。慣性Jが大きくなると時定数が大きくなり起動は鈍くなります。粘性摩擦Dが大きくなると時定数は小さくなりますが、ブレーキ力が大きくなるため出力の回転速度Ωは小さくなります。

次に2次遅れ系を考察します。回転体の回転位置（回転角度）は速度の時間積分ですのでトルクTmから見ると2次系の伝達関数となるのですが、安定している1次遅れ系を積分しただけのものですから2次遅れの振動系ではありません。

減衰比 ζ はダンパcに比例し、質量mおよびばねk に反比例しています。ばね定数kが大きくなると減衰比ζは0に近づき振動系になり制振要素のダンパcが大きくなるにつれてζも大きくなり振動もおさまります。入力に対して振動気味で起動するのが2次遅れ系の物理的なイメージです。 ダンパcがない場合は減衰のない持続振動になります。

電気回路を含めたメカトロニクスの設計では周波数特性を意識して行うことが求められます。周波数特性をグラフ化したものがボード線図と呼ばれるものです。

伝達関数は周波数領域の複素数s(=jω)の関数ですので入出力間の周波数特性として横軸を周波数成分のグラフであるボード線図をよく使用します。ボード線図には二種類あり、縦軸がゲイン(dB)のゲイン特性と、位相（°）の位相特性です。

時定数Tの1次遅れ系と2次遅れ系のボード線図の見方を解説します。

1次遅れ系のゲイン特性は固有周波数ω_nまではゲイン0dBつまり、振幅比率は1倍で出力は入力と同じなのですが、固有周波数を境に-20dB/decでゲインが下がっていきます。つまりこの周波数から積分と同じ特性になります。この境の周波数をカットオフ周波数f (=ω_n/2π)といい、時定数Tの逆数です。カットオフ周波数以上の信号はカットし、低周波数領域のみの信号を通すことからローパスフィルターの特性を持っています。

2次遅れ系のゲイン特性は固有周波数ω_nで一度ゲインが最大になるポイントがありますが、ここが振動系の共振点です。固有周波数を境に-40dB/decでゲインが下がっていきます。減衰比ζが大きくなるにつれて共振点であるゲインのピークが下がり、しまいには単なるローパスフィルターになります。1次遅れ系と異なる点は同じローパスフィルターでもゲイン降下の傾きが急であることです。これはフィルターとしてはより性能が良いことになります。フィルターの伝達関数では次数が大きいものほどこの傾きも大きくなるのでより性能が高くなります。

1次遅れ系の位相特性では周波数が高くなるにつれて遅れていき、固有周波数付近で45°、無限大の周波数で90°に近づいていくことを表しています。

２次遅れ系の位相特性では1次遅れ系に比べて遅れる度合いが大きく、固有周波数付近で90°、無限大の周波数で180°に近づいていくことを表しています。

これから制御の本質である安定性について解説していきます。いわゆる安定しているもとのはどういったもので、どのようなものが不安定であるかを伝達関数の式から意味を考えてみることにします。

実際に多くの計算をするためのもののではなく、理解するうえで多少数式はでてきますが、物理的な現象が数式上ではどうなるかを把握するうえでもここは避けて通ることはできない大事な部分です。

分母D(s)=0を特性多項式とよび、この解（特性根）を極と呼びます。対して、分子N(s)=0の解を零点と呼びます。システムが成り立つ必要条件として分母式の次数が分子式の次数と同じか大きいこと（n≧m）です。

システムの安定性は主に特性方程式の極の位置によります。「主に」と書いたわけは零点もシステムの安定性に影響するわけですが、これを説明するには少し数学的で感覚的につかみにくいために最後にポイントだけまとめておくことにします。

時間関数の速度v(t)から距離x(t)はプロパーな積分で求められますが、任意の予測できない時間関数距離x(t)から厳密な速度v(t)は非プロパーな微分では求められません。主に車速メータなどで見られる速度はパルスカウントする方式で過去から現在までの位置情報を使った差分やローパスフィルターを追加したプロパーな不完全微分などにより得られたものです。

ちなみに、出力が回転速度に比例した電圧等のアナログ式タコジェネレータで計測したものは、厳密な速度と言えます。パルスカウントするディジタル式の速度計はすべて近似速度です。

なぜ極の実数部が負であると安定するかを説明します。

システムの安定性は主に特性多項式の極の位置により決まるのですが、零点が存在するときは無視できない場合があります。一般的に零点のないシステムに比べ零点の存在するシステムは応答が悪化する場合がありますので検証はすべきでしょう。

単体の物理要素では零点はあまり見られませんがフィードバックなどで結合すると出てくる場合があります。

零点は極との位置関係により出力に影響するのですが、端的にまとめると零点も極と同じく、実数部が負であることが条件です。正であるのは不安定零点と呼ばれ入力に対して逆ぶれなどの悪影響を及ぼします。零点は極に近いほど互いに相殺し合うため影響が小さくなります。また、極から負側へ十分はなれているとあまり影響は受けないのですが、極より原点に近いとオーバーシュート気味であまりよくない性質のものと頭の片隅に入れておいてください。零点における情報はあまり出回っていないのですが、こちらのサイトで詳細を解説しています。

伝達関数の扱いになれて、システムの安定性について理解できたところでいよいよフィードバック制御の本題に入ります。フィードバック制御の主な役割は、下記の2点です。

フィードバックにより不安定な制御対象を安定化させることができるわけですが、その逆もいえて、安定しているシステムにフィードバックを加えることで不安定になることも十分ありえます。そこで、伝達関数レベルでフィードバックを加えたシステムに補償器と呼ばれる部分を厳密に設計して最終的にシステム全体の安定性および追従性を検証するのです。

例えば、以下の不安定な伝達関数で表されるシステムにフィードバックループを追加することで安定化させることができるようすをたどってみましょう。

システムが安定の条件は伝達関数の極実数部が負値であることですのでこの場合は補償器C(s)を定数3として入力から出力間の伝達関数G_uy(s)を算出すると、もとの伝達関数G(s)が不安定であったものが、極が負値の安定な1次遅れシステムG_uy(s)に特性が改善されたことがわかります。

このようにして、フィードバックを補償器C(s)を通して施し、システムの新たな極配置をし直すことでシステムを改善することができます。補償器C(s)の設置する位置はフィードバックループ内でも、制御対象の直前でもよいのですが、これは制御対象によりますので、実践応用で設計する際には、実現のしやすさなどを考慮し、シミュレーションなどで結果をみながら判断するところです。

前節ではフィードバックを施すことで、不安定なシステムを安定化させる簡単な例で解説しました。例は数式上のもので現実ではそう単純なものではなく、実際のシステムにフィードバックループを構成すると少し複雑になります。フィードバックループを追加した閉ループシステムでは目標入力以外にシステムに加わる外乱やノイズ等の入力すべてにおいて閉ループシステムが安定しなければなりません。この指標を内部安定性といいます。

目標入力を与えたときに出力が発散せずに収束することが安定である条件ですが、目標値以外の外乱やノイズ等が入力されたときも発散しないでいることが重要だということです。

外乱やノイズを考慮しないで目標入力U(s)から出力Y(s)までの閉ループ伝達関数G_uy(s)は以下のとおりになります。まず、この閉ループ伝達関数G_uy(s)が安定であることが条件です。

次に目標値およびノイズを考慮しない外乱D(s)から出力Y(s)までの閉ループ伝達関数G_dy(s)は以下のようになります。前節の例では補償器C₂は1なのでG_ry(s)とG_dy(s)は同じです。外乱は一般的に低周波域のものなので、G_dy(s)に周波数全域のゲインが小さい特性かハイパスフィルタの特性を持たせるのが好ましいです。

最後に、ノイズ入力N(s)から出力Y(s)までの閉ループ伝達関数G_ny(s)は以下のとおりです。前節の例ではG_ny(s)=-3/(s+1)となりこの場合は安定していますが、補償器C₁(s)=3によりノイズがゲイン倍に増幅されることを意味しています。ただし、ノイズは一般的に高周波域のものなのでこの例では時定数の大きいローパスフィルター特性をもつG_ny(s)を通すことになりノイズの高周波成分はカットされ出力への影響はあまりありません。

内部安定性の判別方法は数種類あり、例えば学問的には制御工学の教科書等でよく見かけるナイキストの安定判別法などがありますが、現実的には閉ループ伝達関数の特性根が安定なもの（上例では1+C₁(s)C₂(s)G(s)=0の特性根が安定）であればよいと判別できることが多いです。

フィードバック制御のもう一つの役割に追従性があります。制御対象出力は目標値への追従が求められます。今回も、数式上の観念的な説明ではありますが、考え方の基本ですのでしっかり理解しておくと実践での応用で迷ったときに物理的なものを数式的なもので考えられるようになります。

迷ったときに感覚的でなく論理的に解析できるので地に足がついた状態でものごとを捉えることができるようになるでしょう。

今回はより汎用的に解析するために、制御対象G(s)に対して、補償器C₁(s)とC₂(s)をつけたもので行います。 入力U(s)から出力Y(s)までの伝達関数G_uy(s)は安定であることが条件です。

ここで入力U(s)とフィードバック量C₁(s)Y(s)の差E(s)を偏差と呼び、E(s)からループにより戻ってくるまでを一巡伝達関数G₀(s)とすると入力から偏差までの伝達関数は次式のようになります。

U(s)の時間関数であるu(t)に対して偏差E(s)の時間関数e(t)がt→∞のときにある値に収束すればその値のことを定常偏差とよびます。この定常偏差を入力に対してできるだけ安定して零に近づけることがフィードバック制御で追従性を向上させるための目的です。このために補償器C₁(s), C₂(s) を解析しながら最適なものに設計するわけです。

実際のシステムではこのような単純な形ではない場合がほとんどですが、基本的な概念はみな同じです。また、入力も、単純なステップ入力だけでなく、時間で変動する入力もありそれに追従させることをサーボ追従といったりします。

ここで、システムにステップ入力とランプ入力を与えたときの定常偏差について調べてみましょう。

ここで入力U(s)に対する定常偏差を調べてみましょう。
G(s)=1/(1+Ts)の安定した1次遅れ系にフィードバックしてステップ入力とランプ入力を与えた時の定常偏差をそれぞれ調べてみます。簡略化のためC₂(s)=1にしています。

以上の解析より安定しているシステムという条件付きですが、フィードバック補償器を適切に設定することで、システムの定常偏差が零になることがわかりました。

もともとある程度安定している1次遅れ系のシステムではフィードバックを施して補償器に積分器を一つ入れるだけで理論上ではありますが定常偏差をなくせるので出力を目標値に追従させることができるようになるわけです。

実際には、出力を変動させるさまざまな外乱などが存在しますので、そう単純ではないのですが、ちょっとしたシステムにはこの簡易なフィードバックでも大いに威力を発揮します。