インパルス入力は時間幅が無限小で、振幅は無限大、かつ積分すると1であるものです。実現はできませんが、数式の上でシステム特性を調べるのに有用です。

システムに対して瞬時に衝撃的なインパルス入力を与えるとその応答として安定して収束するのか、不安定になり発散するのか、いわゆるシステムそのものの特性が現れます。これがインパルス応答です。

理想のインパルス信号は現実には生成できませんので試験等で使用するには近似したものを使用します。

インパルス信号はラプラス変換すると1となるのも特徴です。つまり、システム伝達関数のインパルス応答特性を時間領域に逆ラプラス変換する場合、s領域での入力は1なので伝達関数そのものの特性を調べることになります。これがインパルス応答の重要な部分です。

さて、インパルス入力というものがわかったところで、システムにステップ入力を与えた場合と比較していきます。

下の表に、システム伝達関数G(s)が、定数K、積分1/sおよび1次遅れ1/(1+Ts)の場合に、それぞれインパルス入力、ステップ入力を与えた場合の時間関数g(t)を記載しています。

以下にシステムが定数、積分、一次遅れの場合に入力に対してどのような出力となるかを図解で解釈していきます。

s領域の伝達関数が定数の場合①②は時間領域のシステムも感覚通りに理解できます。例えば、伝達関数が定数Kの場合には入力が1の場合は出力はK倍のKになります。時間領域でも入力1に対して出力はKになります。どの条件でも出力は入力のK倍となります。

次は伝達関数が積分の場合③④です。数学的な解釈ではインパルス信号の定義や積分の意味からインパルス入力に対する応答は1の固定値で、ステップ入力に対する積分応答は出力が線形に増加することがわかります。s領域の伝達関数から解釈するとこのように理解するのに迷いはないとおもいます。

今度は逆に時間領域のシステムが1または定数の場合②③から考えてみます。つまり、g(t)=1(定数)の場合です。これは物理的にはどのような状態を意味するのでしょうか。ちょっと解釈に迷うところですが、入力に対して出力の変化がないこと、つまり、システムの時間経過において状態の変化がないことを意味しています。

ちょっと抽象的な表現のため、具体的な例を次節「運動方程式での解釈」で運動方程式を使って説明します。

最後に、システムが一次遅れ特性をもつ場合⑤⑥です。積分特性に比べて直感的に動作を解釈しやすいと思います。

積分特性を物理的に解釈するために、摩擦を無視した質量Mの物体に外力f(t)を与えたときの速度v(t)について考えます。

時間領域の運動方程式において、外力f(t)により生じる加速度a(t)は質量Mが一定であれば外力f(t)に比例します。つまり、入力を外力f(t)、出力を加速度a(t)とすると、入出力間の伝達関数は①②の定数に相当します。

物体の速度v(t)は加速度a(t)の時間積分ですので、外力f(t)からみるとv(t)は積分器を通したものになります。

ここから本題に入ります。静止している物体に外力としてインパルス入力を与えると物体は初速度V₀で運動を始め、摩擦がない空間では質量Mによる慣性によりV₀の等速運動を続けます③。つまり、入力に対して時間経過において速度v(t)の状態変化はありません。

これが、時間関数g(t)が一定であるシステムにインパルス入力を与えた積分動作の物理的解釈です。

外力f(t)をステップ入力にした場合は、物体は一定の加速度a(t)で等加速度運動し、速度v(t)は線形に増加する積分動作④をします。

ステップ入力自体のラプラス変換は積分と同じ1/sになるため、積分システムにステップ入力を与えると1/s²の特性で出力はランプ関数になります。

現実には摩擦が存在するので、外力f(t)をステップ入力で与えると、摩擦力と釣り合い、速度v(t)は1次遅れになります。

これまで伝達関数をベースとしてフィードバック制御について検証してきました。いわゆる古典制御でのアプローチです。制御できるのは原則として1入力1出力の制御対象システムで温度コントロールや単体モータのモーションコントロールなど身近なフィードバック制御の大部分はこれに適しています。

これに対して、少し複雑なシステムで典型的なものが倒立振子の制御があげられます。台車型の倒立振子を例にとると、倒立振子はもともと不安定なものなのですが安定した倒立状態を保つためには台車の位置を微調整して常に振子の重心位置とのバランスをとることをします。

制御の目的は振子の倒立角度を台車に対して垂直にすることですが、間接的な台車の位置も同時に制御するために押す力などを入力とするいわゆる1入力多出力のシステムとなっています。

古典制御のPID制御などでゲインを適切に設定し、台車位置と振子角度を同時に制御することは不可能ではありませんが、場当たり的な調整では大変なうえ、かえって制御システムを複雑にしてしまいますので無理があるようです。

このような台車位置や振子角度のような複数の変数を同時に安定化させるのに適したものが現代制御理論です。現代制御理論ではシステム内部で扱う複数の変数を状態変数とよび、これらを同時に安定化させるための理論です。

倒立振子には大別すると２種類あり、台車上に支点のある振子を搭載した台車型と２輪軸に振子の支点がある車輪型があります。

台車型倒立振子は台車の位置Xを、加えた推力Fにより調整して振子角度θをゼロに近づけるもので運動方程式も比較的簡単で台車と振子の干渉もそれほど多くなく制御もしやすいといわれています。

対して、車輪型倒立振子は車輪の回転角Φを、トルクT_Rにより調整して振子の角度θをゼロに近づけるものですがトルクT_Rが車輪の並進とともに振子の回転にも影響を及ぼし互いに干渉し合うために運動方程式は少し複雑になっています。

本編では倒立振子に現代制御理論を適用して、その有用性をシミュレーションにより検証していくのですが、後にLEGOの実機を使って検証したいのでそれに合わせて 車輪型倒立振子を取り扱います。

車輪型倒立振子の運動方程式は結構複雑で算出するのは大変なのですが、ここでは 以下のモデルで算出過程は省いてできあがったものを使用します。

①は車輪、②は振子の運動方程式です。これらを導くのに以下の近似と線形化をしています。

入力はモータへの電圧あるいは電流で、駆動する車輪はモータ軸からギア等伝達機構により連結していて、それらをすべて含むと①式は以下の①'になります。車輪および振子の質量やモーメントが影響しあって複雑な式になっています。

制御をするにはまずベースとなる数式モデルが大事なのでこれまで頑張って運動方程式を導いてきました。

通常、学術論文などでは導いた運動方程式①’に基づいてトルクを計算して相当する電圧や電流に変換した入力としているみたいですが、実際のところモータ軸慣性や粘性摩擦等を取得するのが困難なうえ、仮にすべてのパラメータが取得できてもパラメータの変動はつきものでトルク計算方式によるものは実用的な観点からは??な気がします。

つまり、制御したいのは振子角度や車輪あるいは台車の位置なのですが、いくら複雑な数式からトルクや推力を求めてもそれらは間接的であってあまり信頼できないのです。

そこで、マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で近似モデルの解説をしましたが、ここでも電圧か電流入力uから出力の車輪速度までを1次遅れで近似した伝達関数を使用します。

これで車輪の運動方程式①"はすごく単純で実用的なモデルになりました 。 ただし、振り子による干渉項（①,①'式の2項目）は無視しています。振子の運動方程式②はまだ複雑なままですが、今回はまだシミュレーションの段階ですのでパラメータは既知であるとします。

実装する場合には振子の部分も近似モデル化するのですが、振子のパラメータとして大事なものは周期と減衰の特性ですのでこれらのパラメータだけでも同定を行い取得することになります。

運動方程式①''②を変形して状態方程式③④の形にします。これが車輪モデルを近似した車輪型倒立振子の状態方程式です。

現代制御理論で検討するために下記の形式になおします。現代制御では見慣れた形式でこうしてようやく解析を開始できます。

この方式の問題点は近似化するにあたり、振り子の影響を無視していることです。つまり、入力uが電圧や電流では車輪速度は実際には振り子の動作が外乱負荷として多少なりとも干渉するということです。これを解決するのが次に解説する車輪速度入力方式です。

前回の車輪近似モデルを用いた倒立振子でも十分実用的になったのですが更に一歩すすめて、今度は入力がこれまでの電圧や電流でなく、車輪速度である場合で検討します。

モータの電圧や電流を入力とした場合は、簡素化はしたのですが、振子の影響（干渉）が車輪に及ぼす問題は解決はされていませんでした。そこで今度は車輪速度を入力とした速度制御系にすることで車輪は振子の影響をうけないロバスト性を高めたものになります。

以前DCモータのロバスト制御で解説したとおり、2自由度制御とすれば完全なロバスト制御となりますが、今回は簡易なハイゲインフィードバック方式による車輪速度制御で検討を行います。

車輪速度制御にて車輪速度入力に対して出力が１次遅れとなる場合の状態方程式は⑤⑥になります。車輪の方程式は任意に設定できる時定数T_m2だけがパラメータとなっているのが特徴です。

ハイゲインフィードバック方式なのでロバスト性はフィードバックゲインC₂が大きいほど向上しますが、同時に時定数T_m2にも影響するので小さくなりすぎないように実現できるレベルで設定します。

現代制御理論形式の状態方程式です。形式的には電圧や電流を入力とした近似モデル方式と似ていますが、内容は全く違います。

外乱抑制を向上した車輪速度制御系になっていますので車輪速度は振り子の影響を受けずに指令入力に追従します。これまでのように車輪のトルクではなく車輪の速度により振り子を安定化させるところが異なるポイントです。

現代制御理論では扱う各状態変数にゲインを乗じたものを入力へ戻す状態フィードバックを施すことで不安定なシステムも安定化することが可能となります。

これにて、システム全体のもともとの行列Aが不安定（行列Aの固有値が不安定）なものであっても状態フィードバックを施した行列A-BFはゲインを適切に設定すると安定させることができます。

システム行列の固有値は古典制御における特定方程式の解と同等のものですべての固有値が安定であることは状態変数が時間経過とともにゼロに収束することを意味しています。

現代制御理論では可制御性や可観測性などの評価が必要なこともありますが、ここでは両方とも可能なものとしています。

古典制御において伝達方程式の特性多項式の解がすべて安定になるように極配置をおこなったことと同じく、現代制御理論においても極を任意に設定して状態フィードバックゲインを算出しシステム行列の固有値すべてを安定させる方法を極配置法といいます。

安定した極は実数部が負であることはわかるのですが実機にて実用的な動作を実現するための値設定をどのように決定すればよいかが定量的にはよくわからないものです。ある程度試行錯誤的なところはあります。そこで定性的かつ定量的な評価として用いられる方法が次に説明する最適レギュレータです。

極端なはなし、極配置法にて当てずっぽうで配置しても何が正解かはわからないため、評価の指標が欲しくなります。こんなときに一つのツールとして威力を発揮するのが最適レギュレータです。

最適レギュレータの数学的なことはさておき、式の意味するところは各状態変数の収束性と入力エネルギーuの消費抑制の評価指標をJであらわし、目的はJが最小になるように極配置されるフィードバックゲインを取得することです。

各状態変数に対する重みQでどの変数の収束性を重視するかで値を大きく設定したり、小さく設定したりします。 収束性を重視すると多くの操作量を必要とするので実現できるかを考慮するとやみくもに大きくもできません。 エネルギー消費の重みrは通常1にしておくことが多いそうです。

最終的な重みの決定はシミュレーションソフトや実機などで調整していくところです。極配置法に比べ、評価の指標があるので調整の目安となるところが現実的です。

シミュレーションソフトScilabを使用すれば極配置法においては任意の極を指定し、最適レギュレータおいては任意の重みを指定すればそれに応じた各状態変数のフィードバックゲインを算出してくれますので設計が簡単です。

難しい数学的な評価はさておき、ある程度簡単に現代制御理論を使うことはできるようになりました。

最適レギュレータで重みをQ=diag[5 5 1 1] 、r=1に指定して評価取得したゲインはF=[-2.2 -103 -3.2 -12.6]となったのでこれで設計したブロック線図は下図のようになります。

通常、状態変数Xは時間経過とともにゼロに収束するのですが、ここでは車輪位置(角度)を目標値 Φ^ref として5に設定（Φ’=Φ－Φ^ref）したときの応答を示します。目標値がゼロ以外の状態変数車輪位置ΦはΦ’に相当します。

状態フィードバックした入力u(t)が以下のような車輪の速度指令になっているところが特徴です。

実機においても、このような状態で運転できれば安定して倒立させながら同時に車輪の位置を変更させることができることを意味しています。

ちなみに、状態フィードバックを施す前のシステム行列Aの固有値は[-8.2 6.2 0 -20.0]で正の値が含まれるので不安定なのですが、施した後の システム行列A-BFの固有値は[-29.2 -7.5 -6.5 -1.6]ですべて安定な値となっています。

これは、状態フィードバックを施す前のシステム行列Aつまり車輪型振子は何も入力しなければ不安定な状態のままで、これに状態フィードバックを施した入力を与えたシステム行列A-BFでは振子の倒立も車輪位置も同時に安定していることを意味しています。

振子角がゼロ（垂直）で起動した直後は一旦振子を前かがみにさせるために車輪位置は瞬時に後退していますが、目標値５に収束するようすが現れています。

5秒目で入力にパルス状の外乱を加えたのですこし乱れますがすべての状態変数は安定して収束しています。

振子角は起動時に前かがみになってからすぐにゼロに収束しようとし、わずかなアンダーシュートはみられますが安定しています。外乱を与えても収束しています。

アドバンスト制御のなかでも、本編ではロバスト制御を解説していきます。

ロバスト制御というものはDCモータなどの物理的な制御モデルを数式化した際のモデル化誤差や負荷変動などの制御対象P(s)の入力側に加わる外乱、およびセンサノイズなど制御対象の出力側に加わる外乱に対して制御出力が影響を受けにくい制御システムのことをいいます。

ロバスト制御では、端的にいうと外乱d、観測ノイズn、および多少のモデル誤差化⊿があっても入力rから出力ｙまでの伝達関数 G_ry(s) が設定した特性（例えば時定数T_rの１次遅れ）になるように補償器C(s)を設計します。

ロバスト制御のうちでも、PID制御なみに簡易に実現できるものであれば、ちょっとしたアプリケーションにも積極的に適用したいものです。本編ではそんな比較的気楽に扱えるような実用的なものの検証をしていきたいと思います。

従来のPID制御はフィードバックループ内にあるPID補償器の比例・積分・微分ゲインをそれぞれ設定して出力を調整するものです。各ゲインの決め方は経験に基づいた値を試行錯誤的に決めることも多いようです。

PID制御の利点は理論的なものを理解していなくても手軽に感覚的に設定できることですが、ゲインにより調整できるのは応答性であって、外乱などに対しては特性の根本的な改善はできません。

また、PID制御を始めとする従来のフィードバック制御ではループ内のゲインを上げる（増幅）ことによって、安定性や応答性を改善することはできますが、同時にモデル化誤差やノイズなど望まないものも増幅してしまうことにより想定したとおりの性能がだせない場合も起こりえます。単なるフィードバック制御では精度や応答性の向上を望むには限界があるといえます。

そこで、ロバスト制御を実現するのにあたって応答特性と外乱抑制を独立して設定できる２自由度制御システムと呼ばれる制御方法があります。ロバスト制御には他に外乱やモデル化誤差を推定して変化分をキャンセルする外乱オブザーバー的な方法もありますが、本編では２自由度制御を取り扱います。

2自由度制御にもいろいろありますが、今回取り扱うものは、最もシンプルで誰でも検証しやすく、プログラミングなどでも実現しやすいものです。

入力rから出力ｙまでのブロック線図は下図の形になります。通常のフィードバック制御用ループに加えて入力から分岐した情報を加えた形になっています。

上のブロック線図の配置を並べ替えると下図のような等価ブロック線図となります。これが意味しているところはフィードバック部とフィードフォワード部で構成されていて、外乱抑制はフィードバック補償器C(s)、応答特性はフィードフォワード部のG_ry(s)およびP_n(s)で改善します。これらが干渉することなく独立して設定できることから２自由度と呼ばれています。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編 】ではDCモータの特性についてモータ回転速度は入力電圧を変化させれば調整できることを説明しました。無負荷であれば回転速度は入力電圧にほぼ比例していますので入力をu、出力をｙとすると下図のような１次遅れで近似モデル化できます。

近似モデルゲインK_m、時定数T_mは実際の入力を与えたときの回転速度yを実測して得られるものに相当します。これは一種のパラメータ同定と呼ばれますが、DCモータの実際の慣性モーメントJや粘性摩擦Dといった物理的なパラメータでなく近似モデルのパラメータです。

入力uから出力ｙまでの物理的パラメータが K_mとT_mに集約されていてより実用的なモデルです。 入力は電圧でも電流でもよく、パラメータ K_mとT_m はそれに応じた値になります。 K_m は伝達関数のゲインなのですが、入力から出力までの変換係数といった捉え方がわかりやすいのではないでしょうか。

DCモータを制御対象にした2自由度制御システムによる速度制御を解説します。

制御対象P(s)には入力uを電圧または電流、出力yをモータ回転速度とした1次遅れモデルとします。この実モデルは変動の可能性があるパラメータK_m, T_m を持ちますが、この規範モデルをP_n(s)とします。

規範モデルP_n(s) のパラメータは実モデルP(s)のパラメータ同定により得られたパラメータK_m,T_mをそれぞれ規範モデルパラメータ K_n,T_n とし、フィードフォワード補償器内で使用するものです。

フィードフォワード補償部は特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)および規範モデルの逆システムPn (s) ^-1 で構成され、フィードバック補償部には、ロバスト特性を決定するゲインC（制御対象により今回は定数）が入ります。

特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)は時定数T_m2の1次遅れとしますが、時定数T_m2は実現できるレベルで設定する必要はあります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がなく P(s) ＝ P_n(s) である場合、入力ｒから出力ｙまでの伝達関数は設定した目標応答特性G_ry(s) となります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がある場合、下図の⊿(s)が変動分です。フィードバックゲインCが大きいほど変動誤差の影響は小さくなるので 設定した目標応答特性G_ry(s) に近づきます。

今回設定したフィードフォワード補償のタイプでは変動があっても、実モデルパラメータと規範モデルパラメータが互いに相殺しあうかたちになっているのも特徴です。

ここが、2自由度ロバスト制御の本質的な部分です。外乱特性はフィードバックゲインCにのみ関連していて応答特性を決定する 目標応答特性G_ry(s) とは無関係です。
ゲインCが大きくなるほど出力への影響は小さくなることがわかります。この値も実現可能な範囲で設定します。

今回の2自由度制御では 目標応答特性G_ry(s) を1次遅れとしているため、負荷トルクが定常負荷のように一定で大きい場合は、定常誤差が発生してしまいます。この誤差を小さくするためにはフィードバックゲインCを大きくすると零に近づきますが収束するわけではありません。

どうしても、出力を目標値に一致させるためには外側に定常偏差をなくすためのPIフィードバック補償ループを追加して適当な比例、積分ゲインを調整します。

実装のポイントはロバスト制御部をできるだけ高速で処理し、PIフィードバックによるサーボ補償のループをそれよりも遅い処理にして相互干渉による影響をなくすことです。

検証した結果の時間応答をシミュレーション（ Scilabを使用 ）して確認します。

DCモータに開ループ状態でステップ入力時にパルス状の負荷外乱を与えたときの応答です。ちょっとしたパルス状の負荷でも出力に大きな影響を与えることがわかります。

今度はステップ状の負荷外乱を与えたときの応答です。 指令値から大きく下がったところで負荷に応じて発生トルクと釣り合ってしまっています。

目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を50ms、ロバスト補償器ゲインCを0.5とした条件でパルス状外乱を与えたときの出力応答です。制御対象には、規範モデルに対してKmは+30%、Tmは-20％の モデル誤差に加えて、時定数10msの1次遅れ寄生要素を追加しているので2次遅れ系となっていますが、多少のモデル化誤差では出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱を短期間で抑制しているのがわかります。

ロバスト補償器ゲインCを更に大きくすると外乱やモデル化誤差の変動の抑制効果は向上します。

ロバスト補償器ゲインC だけを3に増加してから外乱をステップ負荷としたときの応答です。ここでも 出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱の影響が出力にほぼ現れず、ロバスト制御の効果が見られます。応答特性と外乱抑制特性を独立して設定できる2自由度制御の効果をよく表しています。

簡易的な速度制御特性を改善する方式にハイゲインフィードバック方式があります。出力側をゲインC₁を介してフィードバックし、 ゲインC₁とC₂の値を組み合わせて外乱を抑制しながら入出力間のゲインを1に近づけことができるとても簡単な方式です。

外乱特性を向上するためには 外乱抑制用フィードバックゲインC₁を上げれば改善できます。C₁の大きさに頼るところからハイゲインフィードバックと呼ばれます。

応答特性は全体のゲインが1になるようにC₂により調整することで求められますが、外乱抑制用ゲインC₁の大きさに依存するうえに、任意の応答特性を得ることはできません。また、外乱を抑えるためのハイゲインに頼ることになるため、出力側センサーからのノイズの影響を受けないように注意する必要があります。

パルス状の 外乱負荷として加えたときの応答をシミュレーション結果です。外乱パルスはフィードバックゲインC_１により抑制されていますが同時に応答も影響をうけてゲインやモデル化パラメータによっては過応答になってしまいます。

外乱抑制と応答特性はフィードバックゲインC_１により決定づけられてしまいますが、実現できる範囲で設定できるようであればハイゲインフィードバック方式は最も簡単で実用的です。

速度制御モデルが外乱やモデル化誤差の影響を受けない目標応答特性G_ry(s)でモデル化されていると簡単に位置決め追従制御に発展できます。ここでは、産業用途ではよく目にする速度制御用フィードバックループの外側に位置制御用フィードバックループで構成されているタイプとは異なる、加速度指令方式位置決め追従制御を解説します。

速度応答が外乱やモデル化誤差の影響をうけない目標応答特性G_ry(s) である場合、速度の微分である加速度を指令とした場合、入力から出力までの伝達関数は目標応答特性G_ry(s)を積分したものになります。

応答 G_ry(s)の時定数T_m2は実現できる範囲で十分小さく設定することが好ましいです。

加速度指令値を生成するために予め位置θ₀、速度θ^'₀、加速度 θ^"₀ の追従軌道の目標値を作成しておきます。加速度参照値θ^"₀をフィードフォワード項として、速度θ^'₀、位置θ₀参照値と実際値 θ, θ^' との誤差にそれぞれゲインK_v, K_pをかけたものをフィードバック項として加速度指令値 θ^"refとします。

ゲインK_vとK_pは 2次遅れ系の応答を参考にして目標の速応性および減衰性を考慮して簡単に決定できます。設定した2次遅れ系の応答で起動時の誤差が収束すると⊿θ(=θ₀-θ)は0、つまり実際位置θは遅れなく参照値θ₀に追従することになります。

上式が成立するのは速度系にロバスト制御が施されていて速度指令値θ^'ref ≒ 速度θ^' となることにより加速度指令値θ^"ref ≒ 加速度θ^" とみなせるからです。

上式だけ見ているとゲインK_V、K_Pは任意に決めても問題なさそうですが ゲイン選定を適当にすると応答は乱れる可能性があります。 これらのゲインで2次遅れ系規範モデルを構成することになるからです。

位置決めサーボ系として見た場合、指令値に目標位置θoのみ与えた場合は目標値θoから出力θまでの伝達関数は2次遅れ系の規範モデルK_P/(s²+K_Vs+K_P)となり、出力θは遅れて追従します。

規範モデルに対して指令値に加速度θ^"oおよび速度θ^'oを含めることにより、それらが位置決めサーボ系ではフィードフォワード的な役割を果たし、出力θは定常偏差がなくなり目標値θoに遅れなしに追従するようになるのです。見方を変えると規範モデルの逆システムを構成するのと等価になります。

つまり、システムとしては規範モデルが安定であることが必要で、仮に不安定な極をもつ規範モデルに対して、不安定な零点をもつ規範モデルの逆システムを構成すると、数式上では相殺されるので問題がなさそうですが、実際は必ず遅れ要素やモデル化誤差および外乱等が存在するため、相殺されることはなく不安定なままであるということです。

速度系目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を10ms、ゲインK_vとK_pは 速応性ω_n=10,減衰 0.8としてK_v＝16, K_p=100 としたときの追従性をシミュレーションしてみました。比較的緩やかな目標値の場合ですので時定数が大きめでも位置は遅れなく追従できていることが確認できます。

PID制御とは現場でよく聞かれるフィードバック制御の一種です。PIDは比例Proportional, 積分Integral, 微分Derivativeの頭文字をとったものですが、初めて耳にする人にはなんのことか意味は分かりづらいと思いますので解説しようと思います。

フィードバックによる目標値U(s)と出力Y(s)の差を偏差E(s)ということは前回の【解析編】で説明しました。 フィードバック制御では出力を目標値にできるだけ速やかに近づけるためにループ内に補償器C(s)を設けて追従性の向上を図るわけですが、この手段に比例P、積分I、微分Dの特性をもった補償器で制御するものをPID制御とよびます。ここで数学的な用語の比例、積分、微分がでてきましたので物理的な事例で説明します。

この説明をするのに、制御対象G(s)は1次遅れを持った安定しているものとします。 目標値U(s)、出力Y(s)および偏差E(s)の時間関数に相当するものをそれぞれu(t)、y(t)およびe(t)としておきます。

比例動作に関しては感覚的に分かりやすいと思います。s関数で表すと、修正のための操作量は偏差E(s)に対して比例ゲインK_P倍のK_PE(s)となります。ここでゲインという言葉がでてきましたが、感度というとわかりやすいかもしれません。操作量は偏差(誤差)に比例しているので、時間が経過すると偏差が小さくなる方向に修正されていきます。

この比例制御だけで用が足りるように思われますが、現実では機械系の摩擦要素や、電気系の制御分解能などの影響により、この偏差は零にはならず、制御しきれない範囲で釣り合ってしまいます。つまりオフセットとして残ってしまうのが比例制御の特性でもあります。

比例制御ではどうしても理論上でも実際上でも偏差のオフセット分が残ってしまいます。そこで、この偏差を零に収束させるために積分要素の入った補償器K_I/sを使います。積分は時間の経過とともに偏差のオフセット分を蓄積していきますので偏差がある限り修正し続けて出力を目標値に一致させるわけです。

図において時間toまで比例制御のみの動作でそれ以降に積分制御を開始した場合の様子を表しています。toまでは定常偏差が残っていますが、積分補償器をいれることで偏差が蓄積していきますので修正をし続け、比例制御では処理しきれない定常偏差をゼロに近づけることができます。 ただし、制御対象が1次遅れ系であると積分補償器により2次遅れ系となる(伝達関数の次数が増える)のでゲインの選び方により不安定になる可能性はあります。

最後に微分補償器による修正です。微分補償器では偏差に時間変化がある場合に作用します。例えば、外乱などで、急激に出力が変化するとその変化に応じて修正がなされます。目的は急な変化に対応してできるだけ速やかに偏差を収束させることです。

微分補償器は積分補償器の逆の特性をもつもので微分要素の未来情報は現実的に得られないため近似微分で実現します。位相を進める特性もあるので一次遅れ等で生じた位相のずれを補正する役目もあります。

微分補償器はその性質上、温度調整器など制御対象が比較的遅めのものではよいのですが、モータ制御や電気回路内など応答の速めのシステムでは使い方を誤ると過敏に作用しすぎて不安定になるので注意が必要です。速やかな修正が必要な用途に使うと効果的です。

フィードフォワード制御はフィードバック制御に対するものですが、フィードバック制御の入力が目標値とフィードバック値との偏差だけであるのに対し、フィードフォワード入力は偏差以外の情報、例えば目標値などを与えます。

比較的安定しているシステムではいわゆるオープンループ制御によりフィードフォワードの入力だけを与えても機能しますが、出力の精度をより向上させたり、外乱に対して強いシステムにしたりする場合にフィードバック制御システムとします。

このようなシステムの入力にフィードフォワード情報を加えるとフィードバック情報のみに頼らないですむために、よりシステムが安定する場合があります。

システムの設計において、フィードバック制御を主体にしたフィードフォワード補償ととらえるか、オープンループのフィードフォワード制御を主体としたフィードバック補償ととらえるかは、人それぞれです。

ロバスト制御と呼ばれるもので外乱やシステム変動による不確定要素を推定する外乱オブザーバという考え方がありますが、これはフィードバック主体のシステムに推定した外乱分をキャンセルするための情報をフィードフォワード補償として与えるものです。

電動モータにはさまざまな種類のものがありますが、制御理論で取り上げられるものはDCモータがほとんどです。これはDCモータが電気および機械的にモデル化しやすいことと、単に動作させるだけならば専用のドライブ装置を必要とせず端子に与える直流電圧を変化させるだけで速度も変化させられる制御性の良さによるものです。また、DCモータの発生トルクは電機子電流に比例する特性から、制御機構のアクチュエータとして応用しやすい点も挙げられます。

DCモータの電気回路および運動方程式により導いた伝達関数モデルによるブロック線図を作成して、その特性を確認することから始めてみましょう。【準備編】で導いたDCモータの電気系・機械系のブロック線図をまとめると次のようになります。

ブロック線図より、DCモータの入力をモータ端子電圧E_a(s)、出力をモータ回転速度Ω(s)とするとその伝達関数は電気系のインダクタンスLと機械系のモータ慣性モーメントJの影響で2次遅れシステムとなります。

実際にDCモータに電圧を印加すると回転速度は比較的安定しており、振動的ではありません。これはモータのインダクタンス成分による影響が機械系の慣性モーメントの影響に比べてはるかに小さいため、ほぼ1次遅れ系の特性となるからです。そこで、インダクタンスをL=0として、さらにモータ機械系の粘性摩擦Dも簡略化のためD=0として近似モデルを作成すると以下のようなモデルになります。

入力E_a(s)に対して出力回転速度Ω(s)は時定数T_mをもつ１次遅れとなっています。負荷トルクT_L=0の無負荷運転では出力の回転速度は入力の電圧に対して1次遅れで比例することがわかります。このため、DCモータは印加電圧を変化させるだけで回転速度が変わるいわゆるオープン制御でも扱える手軽さがあるのです。

負荷T_Lが加わった時、T_LのK_B倍が回転速度出力に影響が出てしまいます。つまり、DCモータの印加電圧をオープン制御で変更させるだけの方式では回転速度は負荷により影響を受けてしまうので任意の速度には調整できないということになります。また、応答性はモータの電気系、機械系のパラメータにより決まってしまうところがDCモータをオープン制御で速度コントロールする性能の限界です。

そこで今回は、PI制御補償器を使った速度フィードバックにより回転数を保持するシステムの特性を確認してみたいと思います。ブロック線図は下図のとおりです。

目標値Ω^ref(s)から出力Ω(s)までの応答特性と外乱T_Lから出力Ω(s)までの外乱特性は補償器に積分をいれることで2次遅れ系になっています。

まず、比例補償器のみ機能させた場合（K_I=0）の特性をみてみましょう。応答特性、外乱特性ともに1次遅れ系となって比例ゲインK_pを調整すると時定数が小さくなり応答性を向上させることができるのがわかります。外乱特性に関しては比例ゲインK_pを十分大きくとると影響が小さくなるのがわかります。ただし、1次遅れの特性である定常偏差が残ります。

そこで、積分補償器を追加した場合の特性をみてみましょう。 応答特性、外乱特性ともに2次遅れ系となり、減衰比ζは主に比例ゲインK_P、固有周波数ω_nは積分ゲインK_Iにより設定できますのでゲインの選び方により定常偏差のない速度制御が実現できます。 外乱特性に関しては積分ゲインK_Iを十分大きくとると影響が小さくなるのがわかります。

もっとも、このゲインK_p,K_Iの選択は簡単なものでなく、今回の減衰比のように互いに干渉している場合もあるのである程度の試行錯誤は必要で実際に設計する際にはシミュレーションソフトを利用して特性を確認しながら選ぶのが現実的でしょう。

前章では速度運転をより安定させるために、フィードバック制御を施したときの特性が改善することが確認できました。しかしながら、モータの印加電圧を操作する電圧制御タイプでは、ちょっとした可変速のアプリケーションでは手軽でよいのですが、産業用途でより高精度な回転速度や回転角度、また回転トルクをコントロールするには性能向上に限度があります。

それは、DCモータのブロック線図モデルをみればわかるのですが、逆起電力の影響やモータ電気系の影響を受けるからです。モータ電流を直接操作する電流制御タイプではDCモータの電機子電流が駆動トルクに比例している直線特性のために電気系の影響をうけず、機械系に近い部分を直接操作できることから、電圧制御タイプに比べてより高速に特性を改善することができます。また、電圧入力の場合は電圧上限値による入力制限の影響を受けやすいため性能を発揮しにくいです。以上の理由により、より本格的なモーションコントロールのアクチュエータとしての制御操作は電流で行ったものが多いです。

電流操作でモータをドライブするには電流制御タイプのドライバを使えば最も簡単なのですが、他の方法ではモータ電流を検知して電流ループとしてフィードバック制御系をハードウェアやソフトウェアで構成しているものもあります。電流制御はドライバにもよりますが、アナログ電圧を電流指令値として使うものが一般的でマイコンではDA変換機能があるものを使用します。

TB6612FNGはDCモータ2台まで接続できるドライバモジュールでPWMパルスの電圧指令を与える電圧制御用ドライバモジュールです。

TB67H450はDCモータ1台を接続するドライバモジュールで TB6612FNG のようにPWMパルスの電圧指令を与える電圧制御とアナログ電圧を電流指令として与えて電流制御ができるドライバモジュールです。

アドバンスト制御とは古典制御や現代制御理論を拡張した概念の制御方式で、外乱による変動やモデリングの不確かさによる誤差に対して強いロバスト性（頑健性）を備えた制御のことをいいます。

これまで制御対象を数式にモデリングすることから設計評価を行うことを説明してきましたが、実際には

１．モデルのパラメータの不確かさ
２．外乱、ノイズなどによる影響
３．負荷、運転条件などによる特性の変動

などにより完全にモデリングすることはほぼ不可能です。ロバスト制御は制御すべき対象に上記のような不確かさ、変動があっても安定性を含めた制御特性が劣化しないように制御するものです。

PID制御では追従特性と外乱抑制特性を改善することを試みても互いに干渉するのでゲインをどれだけ最適に選んでもどちらも満足させる特性にすることはできません。これに対して２自由度制御はロバスト制御のなかでも、これらモデリングの不確かさ、変動に対するいわゆる外乱抑制特性と制御本来の目的である追従特性を独立に設計評価できる制御システムですので双方の特性を最適にできるのが特徴です。

補償器C_A(s)で外乱dやノイズnによる変動に対するロバスト特性を向上させ、補償器C_B(s)で目標値R(s)に対する出力Y(s)への追従特性を向上させる構成となっており、C_A(s)とC_B(s)はそれぞれ独立に設定できるため、2自由度と呼ばれています。

ロバスト性を向上させる方法につきましては奥が深く、制御理論の中でもかなり高度なレベルのものですので今回は紹介だけにとどめておきます。実際に理論だけでなくマイコンアプリケーションでちょっとした検証ができるようになった段階であらためて挑戦してまとめてみたいと思います。

伝達関数とはシステムへの入力を出力に変換する機能を複素関数で表現したものです。時間空間の入力u(t),出力y(t)のシステムをラプラス変換した複素数空間ではそれぞれU(s),Y(s)で表すとすると、伝達関数G(s)は以下のように表現します。

ブロック線図とは入力から出力間の伝達関数を通る信号伝達の様子がフローチャートのように機能ごとに分類されて視覚的に分かりやすく表現したものです。基本的な要素の3通りを知っておけばよいです。

1次遅れ伝達関数G(s)にt=0でu(t)=1のステップ入力を与えた時の出力y(t)の時間変化を見ると入力に対してある時間（時定数T）だけ指数関数特性で遅れる性質のものです。入力に対して出力がなまりますが振動は発生しません。電気回路で抵抗器RとコンデンサCで構成したRCフィルターが1次遅れ特性を持っているローパスフィルターと呼ばれるものでRとCのパラメータで時定数Tを調整できます。

2次遅れ伝達関数G(s)にt=0でu(t)=1のステップ入力を与えた時の 出力y(t)の 時間変化を見ると入力に対して減衰比ζに応じて応答が振動的になったり非振動的になったりしています。1次遅れ系に比べて出力信号の立ち上がり部分が滑らかなS字カーブとなっているのも特徴です。

減衰比0<ζ<1で振動的になり0に近づくほど振動が大きくなりζ=0ではついに持続振動系となって収束しなくなります。ζが1より大きい場合は非振動系となって値が大きいほど収束しにくくなります。経験的にサーボ機構などの追従制御の場合はζ=0.6~0.8、プロセス制御など定値制御の場合にはζ=0.2~0.4あたりが適当だといわれています。固有角周波数ω_nは速応性の尺度で大きい値ほど振動周期が小さくなり応答性はよくなります。

ここで、1次遅れ系と2次遅れ系の制御対象であるものについて物理的な意味を考察してみましょう。

以前、DCモータの機械系をモデリングしたのでこれを例にとって考えてみます。入力がモータトルクTm、出力がモータ回転速度Ωとすると粘性摩擦Dがある条件では回転速度はモータトルクの1次遅れとなっています。

つまり、回転体にトルクを与えると、回転速度は1次遅れで動作するのです。静止したフリーの回転体にある時点で一定のトルクTmを与えると（ステップ入力）、回転体は静止状態（速度0）から回りはじめ、トルクTmが粘性摩擦Dによるブレーキ力とつりあったところで一定の回転を保ち続けます。

この入力に対して慣性Jと粘性摩擦Dにより遅れながら起動するのが1次遅れ系の物理的なイメージです。慣性Jが大きくなると時定数が大きくなり起動は鈍くなります。粘性摩擦Dが大きくなると時定数は小さくなりますが、ブレーキ力が大きくなるため出力の回転速度Ωは小さくなります。

次に2次遅れ系を考察します。回転体の回転位置（回転角度）は速度の時間積分ですのでトルクTmから見ると2次系の伝達関数となるのですが、安定している1次遅れ系を積分しただけのものですから2次遅れの振動系ではありません。

減衰比 ζ はダンパcに比例し、質量mおよびばねk に反比例しています。ばね定数kが大きくなると減衰比ζは0に近づき振動系になり制振要素のダンパcが大きくなるにつれてζも大きくなり振動もおさまります。入力に対して振動気味で起動するのが2次遅れ系の物理的なイメージです。 ダンパcがない場合は減衰のない持続振動になります。

電気回路を含めたメカトロニクスの設計では周波数特性を意識して行うことが求められます。周波数特性をグラフ化したものがボード線図と呼ばれるものです。

伝達関数は周波数領域の複素数s(=jω)の関数ですので入出力間の周波数特性として横軸を周波数成分のグラフであるボード線図をよく使用します。ボード線図には二種類あり、縦軸がゲイン(dB)のゲイン特性と、位相（°）の位相特性です。

時定数Tの1次遅れ系と2次遅れ系のボード線図の見方を解説します。

1次遅れ系のゲイン特性は固有周波数ω_nまではゲイン0dBつまり、振幅比率は1倍で出力は入力と同じなのですが、固有周波数を境に-20dB/decでゲインが下がっていきます。つまりこの周波数から積分と同じ特性になります。この境の周波数をカットオフ周波数f (=ω_n/2π)といい、時定数Tの逆数です。カットオフ周波数以上の信号はカットし、低周波数領域のみの信号を通すことからローパスフィルターの特性を持っています。

2次遅れ系のゲイン特性は固有周波数ω_nで一度ゲインが最大になるポイントがありますが、ここが振動系の共振点です。固有周波数を境に-40dB/decでゲインが下がっていきます。減衰比ζが大きくなるにつれて共振点であるゲインのピークが下がり、しまいには単なるローパスフィルターになります。1次遅れ系と異なる点は同じローパスフィルターでもゲイン降下の傾きが急であることです。これはフィルターとしてはより性能が良いことになります。フィルターの伝達関数では次数が大きいものほどこの傾きも大きくなるのでより性能が高くなります。

1次遅れ系の位相特性では周波数が高くなるにつれて遅れていき、固有周波数付近で45°、無限大の周波数で90°に近づいていくことを表しています。

２次遅れ系の位相特性では1次遅れ系に比べて遅れる度合いが大きく、固有周波数付近で90°、無限大の周波数で180°に近づいていくことを表しています。

これから制御の本質である安定性について解説していきます。いわゆる安定しているもとのはどういったもので、どのようなものが不安定であるかを伝達関数の式から意味を考えてみることにします。

実際に多くの計算をするためのもののではなく、理解するうえで多少数式はでてきますが、物理的な現象が数式上ではどうなるかを把握するうえでもここは避けて通ることはできない大事な部分です。

分母D(s)=0を特性多項式とよび、この解（特性根）を極と呼びます。対して、分子N(s)=0の解を零点と呼びます。システムが成り立つ必要条件として分母式の次数が分子式の次数と同じか大きいこと（n≧m）です。

システムの安定性は主に特性方程式の極の位置によります。「主に」と書いたわけは零点もシステムの安定性に影響するわけですが、これを説明するには少し数学的で感覚的につかみにくいために最後にポイントだけまとめておくことにします。

時間関数の速度v(t)から距離x(t)はプロパーな積分で求められますが、任意の予測できない時間関数距離x(t)から厳密な速度v(t)は非プロパーな微分では求められません。主に車速メータなどで見られる速度はパルスカウントする方式で過去から現在までの位置情報を使った差分やローパスフィルターを追加したプロパーな不完全微分などにより得られたものです。

ちなみに、出力が回転速度に比例した電圧等のアナログ式タコジェネレータで計測したものは、厳密な速度と言えます。パルスカウントするディジタル式の速度計はすべて近似速度です。

なぜ極の実数部が負であると安定するかを説明します。

システムの安定性は主に特性多項式の極の位置により決まるのですが、零点が存在するときは無視できない場合があります。一般的に零点のないシステムに比べ零点の存在するシステムは応答が悪化する場合がありますので検証はすべきでしょう。

単体の物理要素では零点はあまり見られませんがフィードバックなどで結合すると出てくる場合があります。

零点は極との位置関係により出力に影響するのですが、端的にまとめると零点も極と同じく、実数部が負であることが条件です。正であるのは不安定零点と呼ばれ入力に対して逆ぶれなどの悪影響を及ぼします。零点は極に近いほど互いに相殺し合うため影響が小さくなります。また、極から負側へ十分はなれているとあまり影響は受けないのですが、極より原点に近いとオーバーシュート気味であまりよくない性質のものと頭の片隅に入れておいてください。零点における情報はあまり出回っていないのですが、こちらのサイトで詳細を解説しています。

伝達関数の扱いになれて、システムの安定性について理解できたところでいよいよフィードバック制御の本題に入ります。フィードバック制御の主な役割は、下記の2点です。

フィードバックにより不安定な制御対象を安定化させることができるわけですが、その逆もいえて、安定しているシステムにフィードバックを加えることで不安定になることも十分ありえます。そこで、伝達関数レベルでフィードバックを加えたシステムに補償器と呼ばれる部分を厳密に設計して最終的にシステム全体の安定性および追従性を検証するのです。

例えば、以下の不安定な伝達関数で表されるシステムにフィードバックループを追加することで安定化させることができるようすをたどってみましょう。

システムが安定の条件は伝達関数の極実数部が負値であることですのでこの場合は補償器C(s)を定数3として入力から出力間の伝達関数G_uy(s)を算出すると、もとの伝達関数G(s)が不安定であったものが、極が負値の安定な1次遅れシステムG_uy(s)に特性が改善されたことがわかります。

このようにして、フィードバックを補償器C(s)を通して施し、システムの新たな極配置をし直すことでシステムを改善することができます。補償器C(s)の設置する位置はフィードバックループ内でも、制御対象の直前でもよいのですが、これは制御対象によりますので、実践応用で設計する際には、実現のしやすさなどを考慮し、シミュレーションなどで結果をみながら判断するところです。

前節ではフィードバックを施すことで、不安定なシステムを安定化させる簡単な例で解説しました。例は数式上のもので現実ではそう単純なものではなく、実際のシステムにフィードバックループを構成すると少し複雑になります。フィードバックループを追加した閉ループシステムでは目標入力以外にシステムに加わる外乱やノイズ等の入力すべてにおいて閉ループシステムが安定しなければなりません。この指標を内部安定性といいます。

目標入力を与えたときに出力が発散せずに収束することが安定である条件ですが、目標値以外の外乱やノイズ等が入力されたときも発散しないでいることが重要だということです。

外乱やノイズを考慮しないで目標入力U(s)から出力Y(s)までの閉ループ伝達関数G_uy(s)は以下のとおりになります。まず、この閉ループ伝達関数G_uy(s)が安定であることが条件です。

次に目標値およびノイズを考慮しない外乱D(s)から出力Y(s)までの閉ループ伝達関数G_dy(s)は以下のようになります。前節の例では補償器C₂は1なのでG_ry(s)とG_dy(s)は同じです。外乱は一般的に低周波域のものなので、G_dy(s)に周波数全域のゲインが小さい特性かハイパスフィルタの特性を持たせるのが好ましいです。

最後に、ノイズ入力N(s)から出力Y(s)までの閉ループ伝達関数G_ny(s)は以下のとおりです。前節の例ではG_ny(s)=-3/(s+1)となりこの場合は安定していますが、補償器C₁(s)=3によりノイズがゲイン倍に増幅されることを意味しています。ただし、ノイズは一般的に高周波域のものなのでこの例では時定数の大きいローパスフィルター特性をもつG_ny(s)を通すことになりノイズの高周波成分はカットされ出力への影響はあまりありません。

内部安定性の判別方法は数種類あり、例えば学問的には制御工学の教科書等でよく見かけるナイキストの安定判別法などがありますが、現実的には閉ループ伝達関数の特性根が安定なもの（上例では1+C₁(s)C₂(s)G(s)=0の特性根が安定）であればよいと判別できることが多いです。

フィードバック制御のもう一つの役割に追従性があります。制御対象出力は目標値への追従が求められます。今回も、数式上の観念的な説明ではありますが、考え方の基本ですのでしっかり理解しておくと実践での応用で迷ったときに物理的なものを数式的なもので考えられるようになります。

迷ったときに感覚的でなく論理的に解析できるので地に足がついた状態でものごとを捉えることができるようになるでしょう。

今回はより汎用的に解析するために、制御対象G(s)に対して、補償器C₁(s)とC₂(s)をつけたもので行います。 入力U(s)から出力Y(s)までの伝達関数G_uy(s)は安定であることが条件です。

ここで入力U(s)とフィードバック量C₁(s)Y(s)の差E(s)を偏差と呼び、E(s)からループにより戻ってくるまでを一巡伝達関数G₀(s)とすると入力から偏差までの伝達関数は次式のようになります。

U(s)の時間関数であるu(t)に対して偏差E(s)の時間関数e(t)がt→∞のときにある値に収束すればその値のことを定常偏差とよびます。この定常偏差を入力に対してできるだけ安定して零に近づけることがフィードバック制御で追従性を向上させるための目的です。このために補償器C₁(s), C₂(s) を解析しながら最適なものに設計するわけです。

実際のシステムではこのような単純な形ではない場合がほとんどですが、基本的な概念はみな同じです。また、入力も、単純なステップ入力だけでなく、時間で変動する入力もありそれに追従させることをサーボ追従といったりします。

ここで、システムにステップ入力とランプ入力を与えたときの定常偏差について調べてみましょう。

ここで入力U(s)に対する定常偏差を調べてみましょう。
G(s)=1/(1+Ts)の安定した1次遅れ系にフィードバックしてステップ入力とランプ入力を与えた時の定常偏差をそれぞれ調べてみます。簡略化のためC₂(s)=1にしています。

以上の解析より安定しているシステムという条件付きですが、フィードバック補償器を適切に設定することで、システムの定常偏差が零になることがわかりました。

もともとある程度安定している1次遅れ系のシステムではフィードバックを施して補償器に積分器を一つ入れるだけで理論上ではありますが定常偏差をなくせるので出力を目標値に追従させることができるようになるわけです。

実際には、出力を変動させるさまざまな外乱などが存在しますので、そう単純ではないのですが、ちょっとしたシステムにはこの簡易なフィードバックでも大いに威力を発揮します。

コイルには流れる電流が時間変化するとそれを妨げる方向に電流や磁界を発生させる性質（電流とは反対の逆起電力が発生）があります。この作用によりコイルには電流を安定させる働きがあり、直流では一瞬電流の流れが妨げられますが落ち着くと単なる導体となります。交流では常に抵抗のように作用します。

この作用を誘導性リアクタンスX_L(=ωL)とよびインダクタンスLおよび周波数ω(=2πf)に比例して大きくなります。 この性質によりコイルの場合は電圧の位相に対して電流は遅れることになり、つまり電流の位相に対して電圧の位相は進むことになります。

コンデンサは電圧がかかると、電荷(電気量)Qがたまって充電し、自身より電位の低い負荷につなぐと放電する性質があります（電流は空のコンデンサに電圧をかけた時点が最大なのに対して、電圧は空の時点が最小で充電完了時が最大）。電荷Qは 容量Cにかかる電圧Vに比例する特徴Q(t)=CV(t)があります。電流i(t)は 電荷Q(t) の時間変化　i=dQ/dt=Cdv/dtとなります。

この作用によりコンデンサには電圧の変動を吸収つまり電圧を安定させる働きがあり、直流では一瞬充電されますがそれ以上は電流を通さず、充放電を繰り返す交流電流だけ通します。

コンデンサも交流では常に抵抗のように作用し、これを容量性リアクタンスX_C(=1/ωC )と呼びますが、コイルとは逆で容量Cおよび周波数に反比例して小さくなります。 この性質によりコンデンサの場合は電圧の位相に対して電流は進むことになり、つまり電圧の位相に対して電流の位相は遅れることになります。

位相がずれる作用については中学校の理科で習ったコイルとコンデンサの性質を考えるとそんなに難しくはないのですが、数式だけで説明しているものが多く、それだけで理解したつもりになっていると本質的なものを見失う可能性があります。コイル、コンデンサの理解に限らず数式だけで扱ってきたものでも理論屋でなくモノを扱うエンジニアであれば物理的な作用を一度見直して知識を整理してみると改めて気づくこともありますのでお勧めします。

一般的に自動制御といえば大きく分けてシーケンス制御とフィードバック制御に分類されます。 シーケンス制御とはリレー回路などで組み合わせた工程やプログラミングした工程で設定した条件のとおりに機能するもので オープンループ制御、開ループ制御とも呼ばれます。

産業機械を制御するPLC（Programmable Logic Controller）は典型的なシーケンス制御です。身近な例では信号機などがシーケンス制御でタイマーや条件分岐などをつかったプログラムによって機能しています。

対して、フィードバック制御とは制御対象の出力をフィードバック（入力側にもどすこと）することによってセンサなどによる測定値を設定した目標値と比較して近づけるように修正動作を行う自動制御のことをいいます。クローズドループ制御、閉ループ制御とも呼ばれます。身近な例ではエアコンの温度設定などですが、自動車の運転も視覚などの情報をもとにして脳で判断してコントロールしているのでフィードバック制御といえます。

自動車のオートクルーズ機能は人がメータやエンジン音などから速度を感知してコントロールするかわりに車載センサが速度を検知してフィードバックしてエンジンへの出力を調整したフィードバック制御です。

フィードバック制御はシーケンス制御にはない長所があるわけですが、フィードバック情報を使っていることで、修正の仕方に不具合があると、とても不安定な状態になることがあります。つまり修正するための信号・情報が常に目標値に近づくものであれば安定してよいのですが、さまざまな要因（外乱）により目標値からかえって遠ざかる方向にいくとクローズドループのためいわゆる悪循環で不安定になってしまうことがあります。

制御理論は学問的には古典制御と現代制御とに分類されます。
古典制御は端的にいうと伝達関数モデルをベースに考える周波数領域（複素数空間）で評価解析する制御理論です。対して、現代制御理論は状態空間モデルをベースに時間領域（実数空間）で評価解析する制御理論です。

これらは名前が表しているような古いとか新しいとかの分類で捉えるのではなく、制御に対するアプローチが違うもので、どちらも一長一短あります。その他、派生したものでロバスト制御、適応制御などがありますが、これは古典、現代理論を発展させた制御手法です。

当サイトではいわゆる古典制御と呼ばれる周波数領域(複素数空間)で解析するものを取り上げています。私が電気系出身であることに加え、伝達関数をベースにする考え方は入力と出力間にある種の特殊なフィルタを構成するという考え方でどちらかといえば数学的でなく物理的に設計できるところが性に合っています。

複素数sを変数とした複素数空間に変換した伝達関数によるブロック線図で構成できることから見た目は直感的なものです。ポイントは複素数ですが、数学的な概念として扱うのではなく便利な手段としての複素数に慣れればよいだけです。伝達関数をベースにする古典制御の手法ではモデリングパラメータについてはある程度の精度でもフィルタの考え方なのでそう厳密なものでなくてもできてしまうところが大きな利点です。

現代制御理論は時間領域で解析するのが基本でどちらかといえば数学的で制御対象を状態方程式と呼ばれる微分方程式で構成するモデリングをしてからの解析です。微分方程式を解くのは難解ですが、コンピュータに解析させればよいのでそこは問題ではありません。古典制御に比べてモデリングパラメータにある程度精度が求められます。状態方程式で使われている状態変数を扱っているため多入力他出力システムとして解析できます。

両者の特徴を端的にまとめると、システムの安定化等の設計評価をするのに、伝達関数をベースに周波数領域の複素数空間でおこなうものが古典制御理論で、微分方程式である状態方程式をベースに実際の時間空間で数学的な解析、設計を行うものが現代制御理論です。物理的な評価を重視するには古典制御がわかりやすく、計算重視で内部パラメータの高度な解析をするには現代制御が向いていると思いますが個人の好みにもよります。

例えば台車式の倒立振子の事例では振り子の角度や台車の位置を状態変数としてアクチュエータのトルク等を操作して出力の振り子の角度をコントロールするものですが、入力に対して出力までが複雑な関係になっていて伝達関数ひとつで簡単に特性が見通せるものではありません。

この例では入力から出力までに多数の変数が存在していて、それらの状態を把握できる現代制御理論が向いています。状態フィードバックを適切に施すといとも簡単に安定化できます。伝達関数を用いた古典制御理論でも可能ですが少し無理があるようです。

現代制御理論は古典制御理論にはない利点もあるのですが、どちらかといえば数学的な解析のものですので、制御を学ぶ初心者で、数学的な解釈が得意な人であれば現代制御理論から学んでもよいのですが、物理的な解釈を重視したい人であれば古典制御理論から入るのがよいのではないでしょうか。肝はそんなに難しくないので。

個人的な見解では現代制御理論と古典制御理論はそれぞれの利点を活かすために、二分して捉えるのではなく、用途により融合して利用するのが最強であるように思われます。例えば、大規模で複雑なシステム全体を最適に管理制御するのに現代制御理論を活用し、そのシステム内で使用される個々のパーツレベルの制御には古典制御理論を活かして性能を確保するイメージです。

制御理論を解説しているものはとかく数式を多用して解説しているものが多いのですが、当サイトではDCモータを使用したモーションコントロールを実現するに必要とされる最低限のものに絞って解説を行っていますが実用的には十分なものです。

数学ででてくる虚数とは二乗するとj²=-1になる数j（電気・制御工学では電流iと区別するためjとしています）というだけのなんやらとても抽象的で無味乾燥な概念を持つものですが、この虚数の概念を物理学に手段として応用するととても便利なものに化けるのです。

複素数zとは実数部aと虚数部jbが組み合わさったz=a+jbとしたものです。実数空間では例えば電流i(t)はパラメータt（時間）による増減だけのスカラー量(大きさそのもの)ものであったのに対して複素数空間ではZ=a+jbのベクトル量（大きさと位相をもつもの）で表現できるようになります。

つまり、Z=a+jbでは虚数部bは実軸上のaに対して90°反時計回りの虚軸上にあることを表しています。ある複素数に虚数ｊをかけるとその複素数のベクトルは原点を中心に反時計回りに90°回転した位置になる(位相が90°進む)特性があります。

この特性を活かして、電気回路や運動方程式を複素数空間に変換すると、実数空間で表現する（微分方程式の世界）よりずっと解析しやすく扱いやすくなります。 ちなみに高校までの物理学では複素数の概念を用いることはなく大学で初めて登場します。

工学で使う複素数は数学的な本質的なものではなくその特性を利用した便利なツールとして使うものと考えたほうがよいです。

電気工学では回路を解析するのに複素数平面が使われます。抵抗値Rだけの直流回路であればいわゆるオームの法則が成り立つ実数のみで扱えるので誰でも直感的に理解できます。これに対して、コイルLやコンデンサCで組み合わさった交流回路の場合は単純に実数のオームの法則だけでは動作が説明できません。

というのもコイルLとコンデンサCでは流した交流電流（正弦波）に対して電圧の位相がコイルでは進み、コンデンサCでは遅れるからです。そこで、電流や電圧の実効値のみならず位相の情報も含めることができる複素数平面を用いると回路をベクトルで扱うことができシンプルになるからです。

コイルL、コンデンサCでは位相がずれるものを数式であらわすと以下のようになります。この数式は時間変化のある回路で有効のものです。コイル、コンデンサに流れる正弦波の交流電流に対してそれぞれ両端にかかる電圧の位相がコイルでは90°(π/2)進み、コンデンサでは90°遅れるのがわかります。これを複素数空間で表していくことにします。

入力から出力の間を伝達関数として扱ういわゆる古典制御においては入力を目標設定値、出力を制御目的の物理量として、伝達関数を含むシステム全体を周波数領域の複素数空間に変換して解析しています。

伝達関数を作成するにはまず、制御対象を数式でモデリングする必要があります。これは古典制御理論でも現代制御理論でも同様です。電気回路でも、力学の運動方程式でも、実時間領域でモデリングすると時間をパラメータとした微分方程式となります。

制御対象を解析するのに微分方程式を解く必要がありますが、制御対象が複雑になるほど解くのが煩雑な上、数字上の計算なので実態がつかみにくくなります。また、解に複素数が含まれた場合は時間ｔの関数で表されても実際には存在しない抽象的なもののため、どういった挙動をするかを理解しにくいものです。

そこで、微分方程式を解く手段として、複素数sを利用したラプラス変換というものがあり、これを使うと、難解な微分方程式が代数方程式に変換され、また、パラメータを複素数空間で表すことにより、挙動を直感的に把握することができるようになります。実際に制御対象をモデリングしてラプラス変換することにより、微分方程式のモデルを周波数領域の伝達関数を作成することをやってみます。

電気回路をモデリングする場合には微分方程式で表現することはできますが、電気工学でおなじみの複素数で表したインピーダンスを用いて複素数空間でのモデルを直接作成するほうが容易ですので両方でモデルを作成してみます。下図の①が実時間空間の微分方程式による回路のモデルです。対して②は複素数空間での回路のモデルです。

DCモータ電気系の微分方程式モデルが①で複素数空間モデルが②です。

機械系のモデルはまず一般的にニュートンの運動方程式により微分方程式モデル①が得られます。

これらの例では、実時間空間の微分方程式によるモデルと複素数空間のモデルが得られました。古典制御理論ではこれらをすべて複素数空間で解析するのでモデルが実時間空間の微分方程式の場合は複素数空間の伝達関数として表すために、ラプラス変換というツールを使って変換します。

制御工学でのラプラス変換の目的は実時間t空間の微分方程式を複素数s空間の代数方程式に変換して計算や解析・評価を容易に扱えるかたちにすることです。ラプラス変換の変数sはラプラス演算子といって微分演算子に相当するものでjωをsに置き換えたものです。 ラプラス変換すると数式化したモデルは多項式で構成される伝達関数のブロックとして入出力特性、周波数特性を調べたり、安定性を判別したりできるようになります。

このラプラス変換そのものはあえて数学的な内容を理解しないでも使えるもので、あくまで解析手段として利用するものだと割り切ったものでもよいと思います。初めはあまり数式にとらわれないで数学的意味はある程度慣れてから理解を深めたい場合は内容をたどってもよいと思います。

ラプラス変換による複素数空間に変換した伝達関数を設計評価したあとは、最終的に逆ラプラス変換により時間関数に戻して実際の動作を確認します。逆ラプラス変換を手作業の計算で行って時間関数に戻せば、マイクロソフトExcelなどを使ってシミュレーションで評価ができますが、現在ではシミュレーションアプリを利用すれば、数学的なことを一切せずとも最終評価までできてしまいます。

実用的な面では、手作業の計算式によるシミュレーションはせいぜい2次遅れのシステムまでである程度複雑なものになるとシミュレーションアプリケーションを使うのが便利で確実です。そうなると、数式的なところはあまり意識しなくても使えますので、制御の本質な部分にだけ集中できます。言い換えれば複素数のs空間でだけ意識して制御の設計ができるということです。

時間関数f(t)から複素数関数F(s)へのラプラス変換ではf(t)が時間tの関数であるのに対して、ラプラス変換後のF(s)は複素数sの関数です。電気回路のモデル1において微分方程式①では微分項をsとして複素関数に置き換え、すでに複素数空間で作成した②ではjωをsに置き換えるとラプラス変換結果と同じにものなり、両者は一致します。

ラプラス変換の公式はいくらかありますが、試験や研究のためでもない限り、覚えるべきものでもありません。モーションコントロールで使うラプラス変換をするのにとりあえず知っておくべきものは限られていてそれらを下記にまとめました。

電気系、機械系の微分方程式をラプラス変換するには1次微分、2次微分および積分を使えばモデリングでき、伝達関数の基本形として1次遅れおよび2次遅れ伝達関数の特性を理解しておけばよいと思います。1次、2次とは伝達関数分母多項式の次数のことです。

実時間空間でのシミュレーションでは入力信号としてステップ信号やランプ信号で評価することが多いので以下の公式を知っておけばよいと思います。

伝達関数G(s)をシミュレーションのために実時間空間の時間関数g(t)にするには逆ラプラス変換を使用します。

手動で計算する場合は例えば入力信号u(t)がステップ信号であれば、G(s)U(s)=G(s)/s、ランプ関数であればG(s)/s²として逆ラプラス変換します。手作業でシミュレーションをする場合に1次遅れと2次遅れ系のステップ応答時間関数を記載しておきます。

制御対象のモデリングで作成した数式モデルにラプラス変換をして複素数s空間のモデルに変換して伝達関数としてブロック線図で制御対象を表現します。s空間でのブロック線図では入力から出力間の信号伝達の様子がフローチャートのように機能ごとに分類されて視覚的に分かりやすく表現されています。