速度制御系でハイゲインフィードバック方式や2自由度ロバスト制御が適用されて指令値通りに応答できるようになっていれば、位置決めサーボ系に発展させることは容易です。

ここでは位置決めサーボ系において応答を決めるゲインをほぼ一意的に選定できる加速度指令方式を採用して実機に適用してその有効性を検証していきます。加速度指令方式についてはマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で詳細を解説しています。

この方式では設定する目標軌道の位置のみならず、速度および加速度に分解したものを予め作成して指令値として与えます。

ゲインKp, Kvの決め方はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【解析編】で解説している2次遅れ特性を参考にしてください。ゲインを適切に設定することにより位置偏差がゼロに収束していわゆる位置決めサーボが実現できます。

上式が成立するのは速度系にロバスト制御が施されていて速度指令値θ^'ref ≒ 速度θ^' となることにより加速度指令値θ^"ref ≒ 加速度θ^" とみなせるからです。

適切に設定したゲインKv、Kpによって起動時に発生している誤差が２次遅れ系の特性で収束すると位置θは目標値 θ₀に遅れなしに追従することになります。詳細はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】の位置決め追従制御(加速度指令方式)で解説しています。

今回は速度制御系の部分にはハイゲインフィードバック方式を採用して簡易的なロバスト制御を実現しています。

指令値は台形速度パターンが最も簡単なので今回はこれを採用しています。プログラムで浮動小数点を使用すればsin関数を用いた加速度曲線などが定義でき、よりスムーズなパターンが作成できます。

指令値を作成するにあたってはマイクロソフトExcelを使用してサイクルタイム毎に刻んで演算すれば下図のような数値が得られます。

実際のプログラミングではExcelの演算と同じものをそれぞれ加速度、速度および位置指令値の配列に代入すればよいわけです。準備する配列の個数は下図の例ではサイクルタイムを5msとしているため各1000個ずつ必要です(5s/5ms個)。

フィードバックおよび実機計測に取り込む速度と位置のデータはエンコーダからのパルスをNucleoに取り組みますが、速度と位置はそれぞれ別個のタイマ・カウンタで計測します。

外乱負荷を与えない状態での速度変化の指令値と実測値です。起動時はどうしてもわずかに乱れていますがハイゲインフィードバックの影響かもしれません。エンコーダ分解能が極めて粗いのと、演算を整数化しているため、一工夫しているとはいえ特に低速時には理想通りには動作させるにはあと何か必要かもしれません。

位置決めサーボでの速度実測値ですので速度定常時にわずかに脈動しているのは問題ではありません。

0.5s毎に外乱負荷を与えた場合の速度です。わずかに外乱の影響はありますが、ハイゲインフィードバックが効いてほぼ安定しています。

実際のモータの移動位置です。位置指令値と実測値にはずれが見られず遅れなく追従しているのが確認できます。外乱負荷を与えた場合でも位置にはほぼ影響がありません。

レゴEV3Lモータは一回転あたり180パルスのエンコーダを内蔵しています。この指令値はちょうど7回転で最終到達パルスが1260パルスになるものです。

レゴEV3Lモータのような簡易的なエンコーダがついたものでも高度なロバスト制御を施した位置決めサーボに発展させると高精度な位置の追従制御ができることが確認できました。

ハードウェアはマイコンと電圧制御タイプのドライバのごく普通の組み合わせのものなのですが、本格的な理論を適用したモーションコントロールが簡単に実現できてしまうのです。

制御理論の応用も特殊なハードウェアを必要とするものでなくだれでも身近に応用できるものを紹介しました。ここではモータを使ったモーションコントロールを例にあげて解説してきましたが、それ以外の用途に活用しても面白いと思います。

オープン制御の場合は、速度指令値を台形パターンにするにはその指令値に比例した電圧となるようなPWMデューティ比率に指定します。

モータ速度は無負荷の状態では与えた電圧に比例して動作するはずです。

実際の運転で起こり得る負荷を想定してモータ軸にブレーキがかかる向きに約0.5s間隔で一定の負荷トルクを与えて出力のモータ速度にどのような影響がでるかを調べてみます。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編】で解説しましたが、DCモータはオープン制御の場合は負荷がかかると、大きく影響を受けてしまいます。

まずシミュレーションで確認してみると、やはり理論で証明されているように出力の速度はかなり変動してしまうことがわかります。

今度は、シミュレーションと同じ条件になるプログラムを作成して、速度指令値が台形パターンとなる電圧をモータに与えたときの速度を実測してみます。

シミュレーションと同じ結果で、ちょっとした負荷ですぐに速度は変動してしまうことが確認できます。

この無防備な状態で、例えばマイクロマウスなどの駆動に適用すると勾配やちょっとした段差などの障害でも望むような動作ができない場合が起こりえます。

そこで、より性能を向上すべくモータ速度をフィードバックした種々の方式で速度指令値（目標値）に対する追従性と外乱の影響を確認していきます。

PID制御のうち、比例と積分要素を補償器としたフィードバック速度制御を構成して性能を確認します。

ステップ応答時と同じ条件で速度指令値を台形パターンにしたものです。補償器の条件は比例ゲインを0.5, 積分ゲインを15にしたものです。

まずシミュレーションで確認してみると、この条件においては外乱の影響に関してはぼぼオープン制御と同じでほとんど改善効果は見られません。

シミュレーションと全く同じ条件で実測した結果をみても同様ですが、オープン制御と異なる点は速度指令値と実際の速度には定常偏差がなくなっている点です。

今回の条件ではゲインを比較的小さめに設定したこともあり、外乱の影響を抑制する効果はほとんどないといえます。もっとも、ゲインをより大きく設定すると外乱の影響を抑えることはできますが、ループ内全体のゲインをあまり大きくするとノイズ等の影響も受けやすくなりあまり好ましくはありません。

PI制御は定常状態の偏差をなくすには有効な方式ですが、外乱負荷の影響をなくすにはあまり効果が期待できないことがわかります。

今度は最もシンプルなフィードバック方式で、効果もあげやすいハイゲインフィードバック方式で検討してみます。

ここではこの方式を"ハイゲインフィードバック"と名づけてはいるのですが、実際にはそんなに大きなゲインは使用しないいたって実用的な方式です。

検証する条件は下記ブロック線図のとおりです。

上記の条件では入力から出力間の特性は実質10msの時定数をもった１次遅れ系となります。詳細はDCモータの簡単で実用的な速度フィードバック制御で解説しています。

まずシミュレーションで確認しますが、オープン速度制御やPI速度制御ではあれだけ負荷外乱の影響をうけていたのですが、この方式では同じ条件であるのにかかわらずほぼ打ち消されていて、速度指令値どおりに追従するサーボ運転となっています。

シミュレーションでは良い結果であったのですが、実測値ではどうでしょうか。

シミュレーションと同じ条件でプログラムを構成して実測してみました。制御アルゴリズムのプログラミングでは積分器を使用するPI制御よりも単純です。

ここでも結果はシミュレーションと同じく外乱の影響をキャンセルして安定して指令値に追従していることが確認できます。

ハイゲインフィードバック方式はシンプルな構造なのにも関わらず効果も抜群の方式でしたが、外乱抑制を高めるためにゲインを大きくすると同時に応答性も向上してしまうことが短所でした。

これで問題がなければよいのですが、外乱抑制と応答性を独立して設定したい場合に有効な方式が2自由度ロバスト制御方式です。

今回の場合もステップ応答で構成したものに速度指令値（目標値）を台形パターンにしたところだけが異なります。シミュレーションやプログラムを構成するのに容易な近似タイプを採用します。【実践で使えるDCモータのロバスト速度制御】参照

まずシミュレーションで確認しますが、ハイゲインフィードバック方式と比較すると、速度が指令値に対してわずかに遅れているのは、近似タイプのため、ロバスト補償器の時定数T_m2をモータ制御対象の時定数T_mと同じ50msにしているからです。

外乱抑制についてはハイゲインフィードバック方式と同じく十分な効果があることが確認できます。

制御アルゴリズムのプログラミングでは１次遅れのフィルターを構成する必要はありますが、そう複雑なものでもありません。

シミュレーションと同じ条件で実測したものでも外乱の影響がなく安定して指令値に追従していることが確認できます。近似タイプでも十分効果があることが確認できました。

一般的なフィードバック制御といえばPID制御がまず挙げられます。難しい理論抜きでも感覚的にゲインを設定して出力を調整することも多いです。

もともと安定しているEV3モータに多少の条件が変わっても一定の目標値を維持するための制御です。偏差eをゼロに近づけるためにPIDゲインのなかでP(比例)とI(積分)要素を使い、特に積分を重視します。

これまで制御システムを評価するシミュレーションはScilabなどのツールを使用してきました。設計評価のときには、制御対象の伝達関数もPI補償器も連続系のs関数でよいのですが、実機で実現する場合、PI補償器はプログラム内で離散系として記述する必要があります。

そのため、実機に近い最終的な動作確認にはExcelによるシミュレーションで評価するのが効果的です。モータなど実モデルは連続系の時間関数、例えばステップ応答時の１次遅れは1-ext(-t/T_m)で記述できます。補償器は離散系で実際のプログラムではサイクル周期を考慮して積分器等を記述します。

Excelにおいて１次遅れのモータ制御対象を連続系として、PI補償器を離散系とした場合の応答です。実際のプログラムではサイクル周期を5msとするために、シミュレーションで5ms刻みの離散系としています。

ステップ入力200時のシミュレーションです。入出力特性は積分ゲインを入れているため、２次遅れ系となっています。比例ゲインKpは0.5、積分ゲインを15とすると振動はおさまっていますが、積分ゲインが大きいため立ち上がりはややゆるやかです。比例ゲインがゼロの場合は積分ゲイン値によりすこしオーバーシュート気味になるかもしれません。

定常時には出力のモータ回転速度は制御器の積分要素のおかげで定常偏差はゼロに近づき安定していますが、立ち上がりの応答は任意に改善することができないことがPI制御の限界です。定値制御であればPI制御でも十分ですが、入力が変化する追従サーボ制御には適用は厳しいかもしれません。

Excelで動作に問題がないことが確認できれば、あとは同じ記述をプログラム内に移植するだけです。離散系のPI補償器の部分はすでにExcel内で記述しているので移植は簡単です。実機のプログラムでの注意点はシミュレーションでは現れない変数の初期値の処理などです。最終的なモータへの出力はPWMのデューティ比で設定します。

シミュレーションと同じ条件の実機の動作です。シミュレーションと同じ応答特性が実機でもみられ、出力速度はオープンPWM制御に比べて定常偏差がなくなり安定しています。

これまで、DCモータの速度をコントロールするのにPWMオープン制御方式、ハイゲインフィードバック制御方式、PI制御方式を行ってきましたがここで集大成のロバスト制御に挑戦したいと思います。

今回実機で実現する２自由度ロバスト制御の詳細はマイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で解説しています。

まずEV3Lモータに２自由度ロバスト制御を適用する場合のパラメータをシミュレーションツールScilabで評価しながら決定します。２自由度制御システムを実機で実現するには制御対象P(s)の規定モデルP_n(s)を逆システムとして離散化しなければならなく結構複雑になってしまいます。そこで、ここでは思い切って補償器で設定する時定数T_m2を規定モデルの時定数T_nと同じにして近似化します。

近似化すると２自由度ロバスト制御のブロック線図は以下のようにすっきりした形になります。

よくみるとハイゲインフィードバック方式のものに似ていて違いは入力に１次遅れフィルタG_ry(s)があることです。フィードバック部で外乱抑制を向上させてこの部分で応答特性を調整していると考えられます。

ここでもPI制御と時と同じようにまずExcelでシミュレーションして評価します。青色点線で囲まれた制御対象は連続系、緑色点線で囲まれたロバスト補償器は離散系で記述します。

外乱抑制に関してはフィードバックゲインCを大きくすればより効果があります。シミュレーションでは立ち上がりは設定した１次遅れ系時定数50ｍsで起動しています。

実機での２自由度ロバスト制御の応答です。時定数T_m2は50msが今回の近似システムの条件ですが、試しに、時定数T_m2を違う値に設定してみたところ、近似モデルにおいても時定数により立ち上がりに違いは多少現れていました。ここでは現れていませんが、外乱負荷を与えても出力の回転数はとても安定しています。

いわゆるロバスト制御の特長がよく現れていて比較的に簡単に実現できますので、ちょっとしたアプリケーションに積極的に採用できるのではないかと思います。

これまでは速度フィードバック制御について、定値制御のステップ応答で検証してきました。実践的な速度入力としては台形波パターンなどを与えることが多いので次回は入力に追従する速度サーボ制御について、各制御方式で比較検証していきたいと思います。

これまで伝達関数をベースとしてフィードバック制御について検証してきました。いわゆる古典制御でのアプローチです。制御できるのは原則として1入力1出力の制御対象システムで温度コントロールや単体モータのモーションコントロールなど身近なフィードバック制御の大部分はこれに適しています。

これに対して、少し複雑なシステムで典型的なものが倒立振子の制御があげられます。台車型の倒立振子を例にとると、倒立振子はもともと不安定なものなのですが安定した倒立状態を保つためには台車の位置を微調整して常に振子の重心位置とのバランスをとることをします。

制御の目的は振子の倒立角度を台車に対して垂直にすることですが、間接的な台車の位置も同時に制御するために押す力などを入力とするいわゆる1入力多出力のシステムとなっています。

古典制御のPID制御などでゲインを適切に設定し、台車位置と振子角度を同時に制御することは不可能ではありませんが、場当たり的な調整では大変なうえ、かえって制御システムを複雑にしてしまいますので無理があるようです。

このような台車位置や振子角度のような複数の変数を同時に安定化させるのに適したものが現代制御理論です。現代制御理論ではシステム内部で扱う複数の変数を状態変数とよび、これらを同時に安定化させるための理論です。

倒立振子には大別すると２種類あり、台車上に支点のある振子を搭載した台車型と２輪軸に振子の支点がある車輪型があります。

台車型倒立振子は台車の位置Xを、加えた推力Fにより調整して振子角度θをゼロに近づけるもので運動方程式も比較的簡単で台車と振子の干渉もそれほど多くなく制御もしやすいといわれています。

対して、車輪型倒立振子は車輪の回転角Φを、トルクT_Rにより調整して振子の角度θをゼロに近づけるものですがトルクT_Rが車輪の並進とともに振子の回転にも影響を及ぼし互いに干渉し合うために運動方程式は少し複雑になっています。

本編では倒立振子に現代制御理論を適用して、その有用性をシミュレーションにより検証していくのですが、後にLEGOの実機を使って検証したいのでそれに合わせて 車輪型倒立振子を取り扱います。

車輪型倒立振子の運動方程式は結構複雑で算出するのは大変なのですが、ここでは 以下のモデルで算出過程は省いてできあがったものを使用します。

①は車輪、②は振子の運動方程式です。これらを導くのに以下の近似と線形化をしています。

入力はモータへの電圧あるいは電流で、駆動する車輪はモータ軸からギア等伝達機構により連結していて、それらをすべて含むと①式は以下の①'になります。車輪および振子の質量やモーメントが影響しあって複雑な式になっています。

制御をするにはまずベースとなる数式モデルが大事なのでこれまで頑張って運動方程式を導いてきました。

通常、学術論文などでは導いた運動方程式①’に基づいてトルクを計算して相当する電圧や電流に変換した入力としているみたいですが、実際のところモータ軸慣性や粘性摩擦等を取得するのが困難なうえ、仮にすべてのパラメータが取得できてもパラメータの変動はつきものでトルク計算方式によるものは実用的な観点からは??な気がします。

つまり、制御したいのは振子角度や車輪あるいは台車の位置なのですが、いくら複雑な数式からトルクや推力を求めてもそれらは間接的であってあまり信頼できないのです。

そこで、マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【発展編】で近似モデルの解説をしましたが、ここでも電圧か電流入力uから出力の車輪速度までを1次遅れで近似した伝達関数を使用します。

これで車輪の運動方程式①"はすごく単純で実用的なモデルになりました 。 ただし、振り子による干渉項（①,①'式の2項目）は無視しています。振子の運動方程式②はまだ複雑なままですが、今回はまだシミュレーションの段階ですのでパラメータは既知であるとします。

実装する場合には振子の部分も近似モデル化するのですが、振子のパラメータとして大事なものは周期と減衰の特性ですのでこれらのパラメータだけでも同定を行い取得することになります。

運動方程式①''②を変形して状態方程式③④の形にします。これが車輪モデルを近似した車輪型倒立振子の状態方程式です。

現代制御理論で検討するために下記の形式になおします。現代制御では見慣れた形式でこうしてようやく解析を開始できます。

この方式の問題点は近似化するにあたり、振り子の影響を無視していることです。つまり、入力uが電圧や電流では車輪速度は実際には振り子の動作が外乱負荷として多少なりとも干渉するということです。これを解決するのが次に解説する車輪速度入力方式です。

前回の車輪近似モデルを用いた倒立振子でも十分実用的になったのですが更に一歩すすめて、今度は入力がこれまでの電圧や電流でなく、車輪速度である場合で検討します。

モータの電圧や電流を入力とした場合は、簡素化はしたのですが、振子の影響（干渉）が車輪に及ぼす問題は解決はされていませんでした。そこで今度は車輪速度を入力とした速度制御系にすることで車輪は振子の影響をうけないロバスト性を高めたものになります。

以前DCモータのロバスト制御で解説したとおり、2自由度制御とすれば完全なロバスト制御となりますが、今回は簡易なハイゲインフィードバック方式による車輪速度制御で検討を行います。

車輪速度制御にて車輪速度入力に対して出力が１次遅れとなる場合の状態方程式は⑤⑥になります。車輪の方程式は任意に設定できる時定数T_m2だけがパラメータとなっているのが特徴です。

ハイゲインフィードバック方式なのでロバスト性はフィードバックゲインC₂が大きいほど向上しますが、同時に時定数T_m2にも影響するので小さくなりすぎないように実現できるレベルで設定します。

現代制御理論形式の状態方程式です。形式的には電圧や電流を入力とした近似モデル方式と似ていますが、内容は全く違います。

外乱抑制を向上した車輪速度制御系になっていますので車輪速度は振り子の影響を受けずに指令入力に追従します。これまでのように車輪のトルクではなく車輪の速度により振り子を安定化させるところが異なるポイントです。

現代制御理論では扱う各状態変数にゲインを乗じたものを入力へ戻す状態フィードバックを施すことで不安定なシステムも安定化することが可能となります。

これにて、システム全体のもともとの行列Aが不安定（行列Aの固有値が不安定）なものであっても状態フィードバックを施した行列A-BFはゲインを適切に設定すると安定させることができます。

システム行列の固有値は古典制御における特定方程式の解と同等のものですべての固有値が安定であることは状態変数が時間経過とともにゼロに収束することを意味しています。

現代制御理論では可制御性や可観測性などの評価が必要なこともありますが、ここでは両方とも可能なものとしています。

古典制御において伝達方程式の特性多項式の解がすべて安定になるように極配置をおこなったことと同じく、現代制御理論においても極を任意に設定して状態フィードバックゲインを算出しシステム行列の固有値すべてを安定させる方法を極配置法といいます。

安定した極は実数部が負であることはわかるのですが実機にて実用的な動作を実現するための値設定をどのように決定すればよいかが定量的にはよくわからないものです。ある程度試行錯誤的なところはあります。そこで定性的かつ定量的な評価として用いられる方法が次に説明する最適レギュレータです。

極端なはなし、極配置法にて当てずっぽうで配置しても何が正解かはわからないため、評価の指標が欲しくなります。こんなときに一つのツールとして威力を発揮するのが最適レギュレータです。

最適レギュレータの数学的なことはさておき、式の意味するところは各状態変数の収束性と入力エネルギーuの消費抑制の評価指標をJであらわし、目的はJが最小になるように極配置されるフィードバックゲインを取得することです。

各状態変数に対する重みQでどの変数の収束性を重視するかで値を大きく設定したり、小さく設定したりします。 収束性を重視すると多くの操作量を必要とするので実現できるかを考慮するとやみくもに大きくもできません。 エネルギー消費の重みrは通常1にしておくことが多いそうです。

最終的な重みの決定はシミュレーションソフトや実機などで調整していくところです。極配置法に比べ、評価の指標があるので調整の目安となるところが現実的です。

シミュレーションソフトScilabを使用すれば極配置法においては任意の極を指定し、最適レギュレータおいては任意の重みを指定すればそれに応じた各状態変数のフィードバックゲインを算出してくれますので設計が簡単です。

難しい数学的な評価はさておき、ある程度簡単に現代制御理論を使うことはできるようになりました。

最適レギュレータで重みをQ=diag[5 5 1 1] 、r=1に指定して評価取得したゲインはF=[-2.2 -103 -3.2 -12.6]となったのでこれで設計したブロック線図は下図のようになります。

通常、状態変数Xは時間経過とともにゼロに収束するのですが、ここでは車輪位置(角度)を目標値 Φ^ref として5に設定（Φ’=Φ－Φ^ref）したときの応答を示します。目標値がゼロ以外の状態変数車輪位置ΦはΦ’に相当します。

状態フィードバックした入力u(t)が以下のような車輪の速度指令になっているところが特徴です。

実機においても、このような状態で運転できれば安定して倒立させながら同時に車輪の位置を変更させることができることを意味しています。

ちなみに、状態フィードバックを施す前のシステム行列Aの固有値は[-8.2 6.2 0 -20.0]で正の値が含まれるので不安定なのですが、施した後の システム行列A-BFの固有値は[-29.2 -7.5 -6.5 -1.6]ですべて安定な値となっています。

これは、状態フィードバックを施す前のシステム行列Aつまり車輪型振子は何も入力しなければ不安定な状態のままで、これに状態フィードバックを施した入力を与えたシステム行列A-BFでは振子の倒立も車輪位置も同時に安定していることを意味しています。

振子角がゼロ（垂直）で起動した直後は一旦振子を前かがみにさせるために車輪位置は瞬時に後退していますが、目標値５に収束するようすが現れています。

5秒目で入力にパルス状の外乱を加えたのですこし乱れますがすべての状態変数は安定して収束しています。

振子角は起動時に前かがみになってからすぐにゼロに収束しようとし、わずかなアンダーシュートはみられますが安定しています。外乱を与えても収束しています。

アドバンスト制御のなかでも、本編ではロバスト制御を解説していきます。

ロバスト制御というものはDCモータなどの物理的な制御モデルを数式化した際のモデル化誤差や負荷変動などの制御対象P(s)の入力側に加わる外乱、およびセンサノイズなど制御対象の出力側に加わる外乱に対して制御出力が影響を受けにくい制御システムのことをいいます。

ロバスト制御では、端的にいうと外乱d、観測ノイズn、および多少のモデル誤差化⊿があっても入力rから出力ｙまでの伝達関数 G_ry(s) が設定した特性（例えば時定数T_rの１次遅れ）になるように補償器C(s)を設計します。

ロバスト制御のうちでも、PID制御なみに簡易に実現できるものであれば、ちょっとしたアプリケーションにも積極的に適用したいものです。本編ではそんな比較的気楽に扱えるような実用的なものの検証をしていきたいと思います。

従来のPID制御はフィードバックループ内にあるPID補償器の比例・積分・微分ゲインをそれぞれ設定して出力を調整するものです。各ゲインの決め方は経験に基づいた値を試行錯誤的に決めることも多いようです。

PID制御の利点は理論的なものを理解していなくても手軽に感覚的に設定できることですが、ゲインにより調整できるのは応答性であって、外乱などに対しては特性の根本的な改善はできません。

また、PID制御を始めとする従来のフィードバック制御ではループ内のゲインを上げる（増幅）ことによって、安定性や応答性を改善することはできますが、同時にモデル化誤差やノイズなど望まないものも増幅してしまうことにより想定したとおりの性能がだせない場合も起こりえます。単なるフィードバック制御では精度や応答性の向上を望むには限界があるといえます。

そこで、ロバスト制御を実現するのにあたって応答特性と外乱抑制を独立して設定できる２自由度制御システムと呼ばれる制御方法があります。ロバスト制御には他に外乱やモデル化誤差を推定して変化分をキャンセルする外乱オブザーバー的な方法もありますが、本編では２自由度制御を取り扱います。

2自由度制御にもいろいろありますが、今回取り扱うものは、最もシンプルで誰でも検証しやすく、プログラミングなどでも実現しやすいものです。

入力rから出力ｙまでのブロック線図は下図の形になります。通常のフィードバック制御用ループに加えて入力から分岐した情報を加えた形になっています。

上のブロック線図の配置を並べ替えると下図のような等価ブロック線図となります。これが意味しているところはフィードバック部とフィードフォワード部で構成されていて、外乱抑制はフィードバック補償器C(s)、応答特性はフィードフォワード部のG_ry(s)およびP_n(s)で改善します。これらが干渉することなく独立して設定できることから２自由度と呼ばれています。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編 】ではDCモータの特性についてモータ回転速度は入力電圧を変化させれば調整できることを説明しました。無負荷であれば回転速度は入力電圧にほぼ比例していますので入力をu、出力をｙとすると下図のような１次遅れで近似モデル化できます。

近似モデルゲインK_m、時定数T_mは実際の入力を与えたときの回転速度yを実測して得られるものに相当します。これは一種のパラメータ同定と呼ばれますが、DCモータの実際の慣性モーメントJや粘性摩擦Dといった物理的なパラメータでなく近似モデルのパラメータです。

入力uから出力ｙまでの物理的パラメータが K_mとT_mに集約されていてより実用的なモデルです。 入力は電圧でも電流でもよく、パラメータ K_mとT_m はそれに応じた値になります。 K_m は伝達関数のゲインなのですが、入力から出力までの変換係数といった捉え方がわかりやすいのではないでしょうか。

DCモータを制御対象にした2自由度制御システムによる速度制御を解説します。

制御対象P(s)には入力uを電圧または電流、出力yをモータ回転速度とした1次遅れモデルとします。この実モデルは変動の可能性があるパラメータK_m, T_m を持ちますが、この規範モデルをP_n(s)とします。

規範モデルP_n(s) のパラメータは実モデルP(s)のパラメータ同定により得られたパラメータK_m,T_mをそれぞれ規範モデルパラメータ K_n,T_n とし、フィードフォワード補償器内で使用するものです。

フィードフォワード補償部は特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)および規範モデルの逆システムPn (s) ^-1 で構成され、フィードバック補償部には、ロバスト特性を決定するゲインC（制御対象により今回は定数）が入ります。

特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)は時定数T_m2の1次遅れとしますが、時定数T_m2は実現できるレベルで設定する必要はあります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がなく P(s) ＝ P_n(s) である場合、入力ｒから出力ｙまでの伝達関数は設定した目標応答特性G_ry(s) となります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がある場合、下図の⊿(s)が変動分です。フィードバックゲインCが大きいほど変動誤差の影響は小さくなるので 設定した目標応答特性G_ry(s) に近づきます。

今回設定したフィードフォワード補償のタイプでは変動があっても、実モデルパラメータと規範モデルパラメータが互いに相殺しあうかたちになっているのも特徴です。

ここが、2自由度ロバスト制御の本質的な部分です。外乱特性はフィードバックゲインCにのみ関連していて応答特性を決定する 目標応答特性G_ry(s) とは無関係です。
ゲインCが大きくなるほど出力への影響は小さくなることがわかります。この値も実現可能な範囲で設定します。

今回の2自由度制御では 目標応答特性G_ry(s) を1次遅れとしているため、負荷トルクが定常負荷のように一定で大きい場合は、定常誤差が発生してしまいます。この誤差を小さくするためにはフィードバックゲインCを大きくすると零に近づきますが収束するわけではありません。

どうしても、出力を目標値に一致させるためには外側に定常偏差をなくすためのPIフィードバック補償ループを追加して適当な比例、積分ゲインを調整します。

実装のポイントはロバスト制御部をできるだけ高速で処理し、PIフィードバックによるサーボ補償のループをそれよりも遅い処理にして相互干渉による影響をなくすことです。

検証した結果の時間応答をシミュレーション（ Scilabを使用 ）して確認します。

DCモータに開ループ状態でステップ入力時にパルス状の負荷外乱を与えたときの応答です。ちょっとしたパルス状の負荷でも出力に大きな影響を与えることがわかります。

今度はステップ状の負荷外乱を与えたときの応答です。 指令値から大きく下がったところで負荷に応じて発生トルクと釣り合ってしまっています。

目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を50ms、ロバスト補償器ゲインCを0.5とした条件でパルス状外乱を与えたときの出力応答です。制御対象には、規範モデルに対してKmは+30%、Tmは-20％の モデル誤差に加えて、時定数10msの1次遅れ寄生要素を追加しているので2次遅れ系となっていますが、多少のモデル化誤差では出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱を短期間で抑制しているのがわかります。

ロバスト補償器ゲインCを更に大きくすると外乱やモデル化誤差の変動の抑制効果は向上します。

ロバスト補償器ゲインC だけを3に増加してから外乱をステップ負荷としたときの応答です。ここでも 出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱の影響が出力にほぼ現れず、ロバスト制御の効果が見られます。応答特性と外乱抑制特性を独立して設定できる2自由度制御の効果をよく表しています。

簡易的な速度制御特性を改善する方式にハイゲインフィードバック方式があります。出力側をゲインC₁を介してフィードバックし、 ゲインC₁とC₂の値を組み合わせて外乱を抑制しながら入出力間のゲインを1に近づけことができるとても簡単な方式です。

外乱特性を向上するためには 外乱抑制用フィードバックゲインC₁を上げれば改善できます。C₁の大きさに頼るところからハイゲインフィードバックと呼ばれます。

応答特性は全体のゲインが1になるようにC₂により調整することで求められますが、外乱抑制用ゲインC₁の大きさに依存するうえに、任意の応答特性を得ることはできません。また、外乱を抑えるためのハイゲインに頼ることになるため、出力側センサーからのノイズの影響を受けないように注意する必要があります。

パルス状の 外乱負荷として加えたときの応答をシミュレーション結果です。外乱パルスはフィードバックゲインC_１により抑制されていますが同時に応答も影響をうけてゲインやモデル化パラメータによっては過応答になってしまいます。

外乱抑制と応答特性はフィードバックゲインC_１により決定づけられてしまいますが、実現できる範囲で設定できるようであればハイゲインフィードバック方式は最も簡単で実用的です。

速度制御モデルが外乱やモデル化誤差の影響を受けない目標応答特性G_ry(s)でモデル化されていると簡単に位置決め追従制御に発展できます。ここでは、産業用途ではよく目にする速度制御用フィードバックループの外側に位置制御用フィードバックループで構成されているタイプとは異なる、加速度指令方式位置決め追従制御を解説します。

速度応答が外乱やモデル化誤差の影響をうけない目標応答特性G_ry(s) である場合、速度の微分である加速度を指令とした場合、入力から出力までの伝達関数は目標応答特性G_ry(s)を積分したものになります。

応答 G_ry(s)の時定数T_m2は実現できる範囲で十分小さく設定することが好ましいです。

加速度指令値を生成するために予め位置θ₀、速度θ^'₀、加速度 θ^"₀ の追従軌道の目標値を作成しておきます。加速度参照値θ^"₀をフィードフォワード項として、速度θ^'₀、位置θ₀参照値と実際値 θ, θ^' との誤差にそれぞれゲインK_v, K_pをかけたものをフィードバック項として加速度指令値 θ^"refとします。

ゲインK_vとK_pは 2次遅れ系の応答を参考にして目標の速応性および減衰性を考慮して簡単に決定できます。設定した2次遅れ系の応答で起動時の誤差が収束すると⊿θ(=θ₀-θ)は0、つまり実際位置θは遅れなく参照値θ₀に追従することになります。

上式が成立するのは速度系にロバスト制御が施されていて速度指令値θ^'ref ≒ 速度θ^' となることにより加速度指令値θ^"ref ≒ 加速度θ^" とみなせるからです。

上式だけ見ているとゲインK_V、K_Pは任意に決めても問題なさそうですが ゲイン選定を適当にすると応答は乱れる可能性があります。 これらのゲインで2次遅れ系規範モデルを構成することになるからです。

位置決めサーボ系として見た場合、指令値に目標位置θoのみ与えた場合は目標値θoから出力θまでの伝達関数は2次遅れ系の規範モデルK_P/(s²+K_Vs+K_P)となり、出力θは遅れて追従します。

規範モデルに対して指令値に加速度θ^"oおよび速度θ^'oを含めることにより、それらが位置決めサーボ系ではフィードフォワード的な役割を果たし、出力θは定常偏差がなくなり目標値θoに遅れなしに追従するようになるのです。見方を変えると規範モデルの逆システムを構成するのと等価になります。

つまり、システムとしては規範モデルが安定であることが必要で、仮に不安定な極をもつ規範モデルに対して、不安定な零点をもつ規範モデルの逆システムを構成すると、数式上では相殺されるので問題がなさそうですが、実際は必ず遅れ要素やモデル化誤差および外乱等が存在するため、相殺されることはなく不安定なままであるということです。

速度系目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を10ms、ゲインK_vとK_pは 速応性ω_n=10,減衰 0.8としてK_v＝16, K_p=100 としたときの追従性をシミュレーションしてみました。比較的緩やかな目標値の場合ですので時定数が大きめでも位置は遅れなく追従できていることが確認できます。