アドバンスト制御のなかでも、本編ではロバスト制御を解説していきます。

ロバスト制御というものはDCモータなどの物理的な制御モデルを数式化した際のモデル化誤差や負荷変動などの制御対象P(s)の入力側に加わる外乱、およびセンサノイズなど制御対象の出力側に加わる外乱に対して制御出力が影響を受けにくい制御システムのことをいいます。

ロバスト制御では、端的にいうと外乱d、観測ノイズn、および多少のモデル誤差化⊿があっても入力rから出力ｙまでの伝達関数 G_ry(s) が設定した特性（例えば時定数T_rの１次遅れ）になるように補償器C(s)を設計します。

ロバスト制御のうちでも、PID制御なみに簡易に実現できるものであれば、ちょっとしたアプリケーションにも積極的に適用したいものです。本編ではそんな比較的気楽に扱えるような実用的なものの検証をしていきたいと思います。

従来のPID制御はフィードバックループ内にあるPID補償器の比例・積分・微分ゲインをそれぞれ設定して出力を調整するものです。各ゲインの決め方は経験に基づいた値を試行錯誤的に決めることも多いようです。

PID制御の利点は理論的なものを理解していなくても手軽に感覚的に設定できることですが、ゲインにより調整できるのは応答性であって、外乱などに対しては特性の根本的な改善はできません。

また、PID制御を始めとする従来のフィードバック制御ではループ内のゲインを上げる（増幅）ことによって、安定性や応答性を改善することはできますが、同時にモデル化誤差やノイズなど望まないものも増幅してしまうことにより想定したとおりの性能がだせない場合も起こりえます。単なるフィードバック制御では精度や応答性の向上を望むには限界があるといえます。

そこで、ロバスト制御を実現するのにあたって応答特性と外乱抑制を独立して設定できる２自由度制御システムと呼ばれる制御方法があります。ロバスト制御には他に外乱やモデル化誤差を推定して変化分をキャンセルする外乱オブザーバー的な方法もありますが、本編では２自由度制御を取り扱います。

2自由度制御にもいろいろありますが、今回取り扱うものは、最もシンプルで誰でも検証しやすく、プログラミングなどでも実現しやすいものです。

入力rから出力ｙまでのブロック線図は下図の形になります。通常のフィードバック制御用ループに加えて入力から分岐した情報を加えた形になっています。

上のブロック線図の配置を並べ替えると下図のような等価ブロック線図となります。これが意味しているところはフィードバック部とフィードフォワード部で構成されていて、外乱抑制はフィードバック補償器C(s)、応答特性はフィードフォワード部のG_ry(s)およびP_n(s)で改善します。これらが干渉することなく独立して設定できることから２自由度と呼ばれています。

マイコンで実現するフィードバック制御のための基礎知識【応用編 】ではDCモータの特性についてモータ回転速度は入力電圧を変化させれば調整できることを説明しました。無負荷であれば回転速度は入力電圧にほぼ比例していますので入力をu、出力をｙとすると下図のような１次遅れで近似モデル化できます。

近似モデルゲインK_m、時定数T_mは実際の入力を与えたときの回転速度yを実測して得られるものに相当します。これは一種のパラメータ同定と呼ばれますが、DCモータの実際の慣性モーメントJや粘性摩擦Dといった物理的なパラメータでなく近似モデルのパラメータです。

入力uから出力ｙまでの物理的パラメータが K_mとT_mに集約されていてより実用的なモデルです。 入力は電圧でも電流でもよく、パラメータ K_mとT_m はそれに応じた値になります。 K_m は伝達関数のゲインなのですが、入力から出力までの変換係数といった捉え方がわかりやすいのではないでしょうか。

DCモータを制御対象にした2自由度制御システムによる速度制御を解説します。

制御対象P(s)には入力uを電圧または電流、出力yをモータ回転速度とした1次遅れモデルとします。この実モデルは変動の可能性があるパラメータK_m, T_m を持ちますが、この規範モデルをP_n(s)とします。

規範モデルP_n(s) のパラメータは実モデルP(s)のパラメータ同定により得られたパラメータK_m,T_mをそれぞれ規範モデルパラメータ K_n,T_n とし、フィードフォワード補償器内で使用するものです。

フィードフォワード補償部は特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)および規範モデルの逆システムPn (s) ^-1 で構成され、フィードバック補償部には、ロバスト特性を決定するゲインC（制御対象により今回は定数）が入ります。

特性改善後の入出力間目標応答特性G_ry(s)は時定数T_m2の1次遅れとしますが、時定数T_m2は実現できるレベルで設定する必要はあります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がなく P(s) ＝ P_n(s) である場合、入力ｒから出力ｙまでの伝達関数は設定した目標応答特性G_ry(s) となります。

制御対象の実モデルP(s)と規範モデルP_n(s)に誤差変動がある場合、下図の⊿(s)が変動分です。フィードバックゲインCが大きいほど変動誤差の影響は小さくなるので 設定した目標応答特性G_ry(s) に近づきます。

今回設定したフィードフォワード補償のタイプでは変動があっても、実モデルパラメータと規範モデルパラメータが互いに相殺しあうかたちになっているのも特徴です。

ここが、2自由度ロバスト制御の本質的な部分です。外乱特性はフィードバックゲインCにのみ関連していて応答特性を決定する 目標応答特性G_ry(s) とは無関係です。
ゲインCが大きくなるほど出力への影響は小さくなることがわかります。この値も実現可能な範囲で設定します。

今回の2自由度制御では 目標応答特性G_ry(s) を1次遅れとしているため、負荷トルクが定常負荷のように一定で大きい場合は、定常誤差が発生してしまいます。この誤差を小さくするためにはフィードバックゲインCを大きくすると零に近づきますが収束するわけではありません。

どうしても、出力を目標値に一致させるためには外側に定常偏差をなくすためのPIフィードバック補償ループを追加して適当な比例、積分ゲインを調整します。

実装のポイントはロバスト制御部をできるだけ高速で処理し、PIフィードバックによるサーボ補償のループをそれよりも遅い処理にして相互干渉による影響をなくすことです。

検証した結果の時間応答をシミュレーション（ Scilabを使用 ）して確認します。

DCモータに開ループ状態でステップ入力時にパルス状の負荷外乱を与えたときの応答です。ちょっとしたパルス状の負荷でも出力に大きな影響を与えることがわかります。

今度はステップ状の負荷外乱を与えたときの応答です。 指令値から大きく下がったところで負荷に応じて発生トルクと釣り合ってしまっています。

目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を50ms、ロバスト補償器ゲインCを0.5とした条件でパルス状外乱を与えたときの出力応答です。制御対象には、規範モデルに対してKmは+30%、Tmは-20％の モデル誤差に加えて、時定数10msの1次遅れ寄生要素を追加しているので2次遅れ系となっていますが、多少のモデル化誤差では出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱を短期間で抑制しているのがわかります。

ロバスト補償器ゲインCを更に大きくすると外乱やモデル化誤差の変動の抑制効果は向上します。

ロバスト補償器ゲインC だけを3に増加してから外乱をステップ負荷としたときの応答です。ここでも 出力は 目標応答特性G_ry(s)の特性を維持したまま、外乱の影響が出力にほぼ現れず、ロバスト制御の効果が見られます。応答特性と外乱抑制特性を独立して設定できる2自由度制御の効果をよく表しています。

簡易的な速度制御特性を改善する方式にハイゲインフィードバック方式があります。出力側をゲインC₁を介してフィードバックし、 ゲインC₁とC₂の値を組み合わせて外乱を抑制しながら入出力間のゲインを1に近づけことができるとても簡単な方式です。

外乱特性を向上するためには 外乱抑制用フィードバックゲインC₁を上げれば改善できます。C₁の大きさに頼るところからハイゲインフィードバックと呼ばれます。

応答特性は全体のゲインが1になるようにC₂により調整することで求められますが、外乱抑制用ゲインC₁の大きさに依存するうえに、任意の応答特性を得ることはできません。また、外乱を抑えるためのハイゲインに頼ることになるため、出力側センサーからのノイズの影響を受けないように注意する必要があります。

パルス状の 外乱負荷として加えたときの応答をシミュレーション結果です。外乱パルスはフィードバックゲインC_１により抑制されていますが同時に応答も影響をうけてゲインやモデル化パラメータによっては過応答になってしまいます。

外乱抑制と応答特性はフィードバックゲインC_１により決定づけられてしまいますが、実現できる範囲で設定できるようであればハイゲインフィードバック方式は最も簡単で実用的です。

速度制御モデルが外乱やモデル化誤差の影響を受けない目標応答特性G_ry(s)でモデル化されていると簡単に位置決め追従制御に発展できます。ここでは、産業用途ではよく目にする速度制御用フィードバックループの外側に位置制御用フィードバックループで構成されているタイプとは異なる、加速度指令方式位置決め追従制御を解説します。

速度応答が外乱やモデル化誤差の影響をうけない目標応答特性G_ry(s) である場合、速度の微分である加速度を指令とした場合、入力から出力までの伝達関数は目標応答特性G_ry(s)を積分したものになります。

応答 G_ry(s)の時定数T_m2は実現できる範囲で十分小さく設定することが好ましいです。

加速度指令値を生成するために予め位置θ₀、速度θ^'₀、加速度 θ^"₀ の追従軌道の目標値を作成しておきます。加速度参照値θ^"₀をフィードフォワード項として、速度θ^'₀、位置θ₀参照値と実際値 θ, θ^' との誤差にそれぞれゲインK_v, K_pをかけたものをフィードバック項として加速度指令値 θ^"refとします。

ゲインK_vとK_pは 2次遅れ系の応答を参考にして目標の速応性および減衰性を考慮して簡単に決定できます。設定した2次遅れ系の応答で起動時の誤差が収束すると⊿θ(=θ₀-θ)は0、つまり実際位置θは遅れなく参照値θ₀に追従することになります。

上式が成立するのは速度系にロバスト制御が施されていて速度指令値θ^'ref ≒ 速度θ^' となることにより加速度指令値θ^"ref ≒ 加速度θ^" とみなせるからです。

上式だけ見ているとゲインK_V、K_Pは任意に決めても問題なさそうですが ゲイン選定を適当にすると応答は乱れる可能性があります。 これらのゲインで2次遅れ系規範モデルを構成することになるからです。

位置決めサーボ系として見た場合、指令値に目標位置θoのみ与えた場合は目標値θoから出力θまでの伝達関数は2次遅れ系の規範モデルK_P/(s²+K_Vs+K_P)となり、出力θは遅れて追従します。

規範モデルに対して指令値に加速度θ^"oおよび速度θ^'oを含めることにより、それらが位置決めサーボ系ではフィードフォワード的な役割を果たし、出力θは定常偏差がなくなり目標値θoに遅れなしに追従するようになるのです。見方を変えると規範モデルの逆システムを構成するのと等価になります。

つまり、システムとしては規範モデルが安定であることが必要で、仮に不安定な極をもつ規範モデルに対して、不安定な零点をもつ規範モデルの逆システムを構成すると、数式上では相殺されるので問題がなさそうですが、実際は必ず遅れ要素やモデル化誤差および外乱等が存在するため、相殺されることはなく不安定なままであるということです。

速度系目標応答特性G_ry(s) の時定数T_m2を10ms、ゲインK_vとK_pは 速応性ω_n=10,減衰 0.8としてK_v＝16, K_p=100 としたときの追従性をシミュレーションしてみました。比較的緩やかな目標値の場合ですので時定数が大きめでも位置は遅れなく追従できていることが確認できます。